【摘要】 本文运用传热学的知识,利用偏微分方程对烤制面包容易烤糊这一现象进行解释。首先对不同形状面包外边缘进行热分布的分析,然后通过目标规划求出理论上烤制面包的最佳形状。建立二维热分布方程用于描述面包在烤炉内的受热情况。通过matlab的pde工具箱,即可利用数值方法求出出面包截面的热量分布。通过对采样点的分析,建立一个相同条件下不同形状面包边缘平均受热情况的指标。而根据不同烤箱的实际尺寸,可灵活选择烤制面包的形状。
【关键词】 偏微分方程烤面包
1 引言
越来越多的人们喜欢自己在家中烤面包,但是烤面包还是个技术活。与普通微波炉加热食物不同,微波加热是利用空气分子的震动,由内而外地加热食物,而烤箱则是由内壁的烤管发出热量,由外及内地进行加热。运用传热学的知识可以这样解释,来自于炉管的热量通过热辐射的形式,首先抵达面包的外表面。面包外表面会持续升温,与面包内部产生温度差,然后热量再从面包的表面以热传导的方式,传递到面包内部,从而实现烘烤的目的。
也就是说,烤箱模拟了古代用柴火进行烧烤的原理,只不过古时候的柴火替换成了烤箱内部的炉管。而现代的烤箱也基本上实现了均匀加热,温度控制等功能。对于大型工业烤箱,温控还是很稳定的。但是对于家用的小型烤箱,这些功能很不稳定,这是由烤箱的规模决定的。温度要加热多少,何时放入面包,何时取出面包,都是需要注意的,也是有技巧的。可惜的是目前还没有一个现代家用烤箱可以做到“一站式”的功能。因此一不留神,就容易把面包烤糊。本文不打算介绍烤制可口面包的攻略,而是科学地分析,为什么面包会被烤糊,并在理论上给出一些建议。
2 二维热传导方程
我们知道,炉管是烤箱中唯一的热源,工作时同时存在热辐射、热对流和热传导。面包表面通过热辐射或热对流得到热量,面包内部通过热传导得到热量。计算时我们把这些过程分开计算但事实上共存的。然后建立二维热传导方程。
热传导的偏微分方程模型。根据热传导的傅里叶定律,热量通过某一物质的时间变化率与面积和温度的梯度成比例,即:
表示热通量,表示温度,表示热传导率。
根据热传导的傅里叶定律和能量守恒定律,可以得到热传导的偏微分方程:
表示物质的密度,表示时间,表示内部的热源。实际上,通过把立体的面包的热分布分析转化为对二维的截面进行分析,可以简化求解。而内热源不存在,故上式可化为:
这里表示热扩散系数
求解方程,必须知道初始条件和边界条件。根据文献[1],有Dirichlet边界条件,Neumann边界条件和Robin边界条件。但这里还有一个辐射边界条件。假设截面边缘是在热辐射的直接影响下,不收热对流的影响。当,表示环境的温度,既可以得到辐射的边界条件:
这里,是发射率,是Stefan-Boltzmann常量,是热源温度也是常数。
3 方程的求解
根据热传导方程,初始条件和边界条件,我们首先尝试求解析解。但由于其复杂性很难得出计算结果。故我们采用数值方法。
Matlab的pde工具箱是求解偏微分方程的一个工具。里面提供了不同边界条件下的标准热传导方程。通过选择合适的方程,数值解很容易得到,原始方程如下:
这里,表示密度,表示比热容,表示热传导系数,表示热源,是对流系数,表示外部温度。通过初始化参数和设置编辑条件,可以得到不同横截面形状下的热分布图。
根据下图所示,我们可以发现,无论截面形状如何,外边缘的热量要比内部的高,而边角处热量最高。而越靠近内部,等温线就越趋近于一个圆。旁边的数字说明了不同颜色代表的温度值。
为了定量的描述这个问题,对不同截面外边缘相同距离内插值的数据求方差,结果如表1。
可以发现从长方形到圆,方差值在变小,说明圆形截面的外边缘平均受热情况最好。这也就说明了烘烤方形等有棱角的面包时,理论上比圆形面包更容易烤糊,而且是在边角位置。物理上可以这样解释:边缘的热量在向面包内部进行热传导时,位于边角处的部分要比位于棱处的部分,收到更多边的传热的的影响。因而温度要比其余部分高。而在求解二维偏微分方程时,规定好初始条件和边界条件,方程的解就可以直观反映这样一种现象。
4 放置最多数量面包的问题
我们已经得出了结论,截面是圆形的面包,其外表面是受热均匀的,不容易被烤糊。实际情况是,烘烤圆形面包,会浪费掉烤箱许多空间,一次烘烤的面包数量没有长方形面包的多。因此对于不同的人们,就有不同的选择。对于一定体积的面包和烤箱,面包的形状不同,一次烘烤的数量也不同。下面仅讨论面包截面形状是正五边形的情况。
下式代表空间利用率
是单层面包个数,是面包截面积,,为烤箱长宽。越大,表示空间利用率越好。
目标:
约束条件:
是正五边形的内角。
通过lingo可以求解排列的方案。然后对不同形状进行分别讨论。根据不同面包形状的空间利用率,可以选出最优形状和排列方案。
5 结语
从传热学的角度分析,圆形面包的表面是受热均匀的,对于害怕烤糊的朋友,是个不错的选择。但是选用方形面包,可以一次烘烤更多。究竟选择哪种方案,也是不确定的。但是喜爱自己烤面包的朋友,相信随着经验的累积和技巧的提高,可以烤出更多的美味。
参考文献:
[1]杨世铭,陶文铨.传热学.北京:高等教育出版社,2006.
[2]A.Dehghani,A.Moradi,M.Dehghani,A.Ahani.Nonlinear Solution for Radiation Boundary Condition of Heat Transfer Process in Human Eye. Engineering in Medicine and Biology Society,EMBC,2011 Annual International Conference of the IEEE, p.166-169.