[摘 要] 概率方法的应用已经成为概率论的一个很新颖的方向.下文利用概率方法证明了其它数学领域中的一些数学命题,例如组合恒等式、代数恒等式和积分不等式等等。
[关键词] 概率方法 数学证明 随机模型 中心极限定理 Jessen不等式
[Abstract] Applications of probability methods have become a very novel direction of probability theory.This paper proves several mathematical propositions of other mathematics fields based on probability method,such as combinatorial identity, algebraic identical equation, integral inequality and so on.
[Key words] probability method mathematical proof random model central limit theorem Jessen inequality
20世纪以来,起源于机会游戏的概率论飞速发展,已经发展成为一门理论严谨的数学科学。其内容丰富,结论深刻,趣味性浓厚,有自己独特的思想和方法。并且概率论的应用很广泛,其中运用概率论的思想方法来解决其它数学领域中的问题已经成为概率论的一个很新颖的方向。
下文将利用概率方法证明其它数学领域中的一些数学命题.例如利用概率方法证明代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等.利用概率方法的关键,是根据不同的数学问题,巧妙建立随机模型,然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题。
1 利用概率方法证明一些组合恒等式
例1 求证:
证明 建立随机模型:设且相互独立,记,则有
另一方面:可以认为是重贝努里试验中前次试验中成功的次数,是第次到次试验中成功的次数,为从第次到次试验中成功的次数,所以
故
所以
2 利用概率方法证明一些代数恒等式
例2 求证:
证明 建立随机模型:假设口袋中袋有个球,其中个为白球,从中每次取出一球,不放回。
令=“迟早取来到白球”,则有。
令=“前次取球,只有第次取出的球为白球”,,则有
故
所以
3 利用概率方法求级数的和
例3 求证:
证明 建立随机模型:设为独立同分布随机变量,且,即.
根据泊松分布的可加性,所以,则
而.
由中心极限定理,得
例4 求证:
证明 建立随机模型:令是只有两个基本事件与的随机试验,试验独立重复进行可列无限多次,在第次试验中,出现的概率为,不出现的概率为.
设 “首次出现在第次试验中”,则
=“在所有试验中都没发生”.
故 .
4 利用概率方法证明积分不等式
例5 设在上可积,且有界,,是上的凹函数,
证明:
证明 建立随机模型:设连续性随机变量的密度函数为
显然满足,且非负.
又设,所以
而
因为在上是凹函数,由Jessen不等式得,,
故
5 利用概率方法证明数学中的一些重要定理
例6 设,则
证明： 建立随机模型:设随机变量的分布列为
由Jessen不等式得
则 ,即
6 利用概率方法证明积分的极限
例7 设
证明:
证明： 建立随机模型:设随机变量在上服从均匀分布,且相互独立,则有
由于独立同分布,所以也独立同分布.
由辛钦大数定律,得
由于
所以
参考文献:
[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[Ｍ].北京:高等教育出版社,2004,7.
[2]严士健,刘秀芳.测度与概率[Ｍ].北京:北京师范大学出版社,2003,4.