摘要: 本文对中学数学概率中容易出错的若干问题进行了归纳讨论。
关键字: 概率；出错；问题；讨论
【中国分类号】G633.6
概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支，因为在自然界和人类社会中存在着大量的随机现象。概率起源于博弈问题，最初是从研究掷骰子等赌博中的简单问题开始的,如今在高能物理学、天文学、化学反应动力学、生物数学等学科中有着广泛的应用。概率论的发展说明了理论与实际之间的密切联系。随着中学数学教材改革的逐步深入,概率统计已经成为中学数学教材的重要组成部分。但许多同学面对概率问题不知道怎样下手，或者在解决概率问题时错误百出，主要原因就是其对概念理解模糊。常见问题归纳如下：
一、定义不明，概念模糊出错
1.随机事件发生的频率与概率混同
例1下列两个命题错误的是( )
(1)抛掷一枚硬币100次,出现正面向上的频率为0.4,则该次试验中,正面向上的次数为40次。
(2)若一批产品的次品率是0.1,则从该产品随机抽取100件,一定会有10件次品。
分析随机事件在一次试验中发生的 ,它随着试验的次数的改变而改变,在大量的重复试验中,随机事件发生的频率呈现一定的规律性,频率的值接近于一个常数,这个常数就是随机事件发生的概率。虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律,但是事件的发生又带有偶然性,在命题(2)中次品率为0.1,不等于100件产品中一定有10件次品,故(2)是错误的。
2.等可能事件的等可能性与非等可能性的混同
例2投掷两枚骰子,求出现的点数之和等于3的概率。
解设A为事件“出现的点数之和等于3”,基本事件总数为6×6=36,事件A只有两种情况(1,2),(2,1),所以 ．
分析等可能事件的概率的计算公式为,这个公式仅仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立,而出现的点数之和为2和3的情况不是等可能的。出现的点数之和为2的情况只有一种 (1,1),而出现的点数之和为3的情况有两种 (1,2),(2,1),其他的情况可以类推。投掷两枚骰子出现点数可能情况有(1,1),(1,2),…,
(1,6),(2,1),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)共36种情况。因此,基本事件总数为6×6=36,在这些结果中有利事件 只有两种情况(1,2),(2,1),所以 .
注: 此类问题易发生的错误是:由于出现的点数之和的可能数值为2,3,4,5,…,12,所以 .
3.抽样中的放回与不放回混同
例3箱子中放有6件白色外套和4件红色外套,请回答下面的问题:
(1)从箱子中连续取出四件外套,一次只取一件,取后不放回,恰巧取出一件红色外套的概率。
(2)取出四件外套,一次取一件,取后放回,恰巧取到一件红色外套的概率。
解(1)记A为事件“从箱子连续取四次,一次取一件,取后不放回,恰巧取到一件红色的外套”,因为一次取一件,取后不放回,故 , ,所以,
.
(2)记 为事件“从箱子连续取四次,一次取一个,取后放回,恰巧取到一件红外套”,因为一次取一件,取后放回,所以 .
注: (1)为组合问题(2)为互斥独立重复试验的问题。
4. 互斥事件与对立事件的混同
例4两个事件对立是两个事件互斥的(A)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析要回答这个问题,必须搞清楚对立事件与互斥事件的联系与区别,具体的说,这二者的区别与联系主要体现在以下三个方面:
(1)两事件对立,必是互斥,但互斥未必对立。
(2)互斥的概念适合多个事件,但对立概念只适用于两个事件。
(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,至多只能发生其中一个,但可以都不发生,而两事件对立则表示他们有且只有一个发生。
二、基本事件总数含糊不清，忽视限制条件
例1投掷两枚骰子,求所得的点数之和为6的概率。
错解投掷两枚骰子出现的点数和为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共十一种基本事件。所以概率 .
正解其基本事件总数为36种,点数之和为6 的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)五种情况,所以所求概率为 .
3.2.2[5]忽视限制条件
例2 甲,乙两人独立的对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6,0.5,现在已知目标被射中,求甲射中的概率。
错解所求概率是P=0.6.
正解错解中忽视了限制条件,注意所求的事件是在目标被击中的情况下的概率,而目标被击中的概率是1-(1-0.6)×(1-0.5)=0.8.故所求概率P=0.75.
三、 排列组合知识掌握不牢固，审题时出现重复或者遗漏出错
例1 从标有1—9的9张卡片中任意取两张,其数字的积为偶数的概率为多少？
错解所求概率P= ,要使积为偶数,先从偶数中取一张,再从余下的八张中任意取一张,得 , ,所以 .
正解在错解分子中 中,含有重复的情况,比如“第一次取2,第二次取6”与“第一次取6,第二次取2”在不考虑顺序的情况下是一回事,所以所求的概率是
.
例2已知6件外形完全一样的产品中,有两件次品,采取逐一检测的方法查找这两件次品。每次检测一个。且检测后不放回。直到两件次品被查到为止,求第五次被检测完的概率。
错解第五次恰好检测到第二件次品,所求的概率是 .
正解错解中审题不细,考虑不全。“第五次检测完毕”除了错解中的“第五次恰好检测到第二件次品”外还有一种情况,“第五次恰好检测到第4个正品”,所以所求的概率是 .
上面介绍了概率问题中容易出错的几个地方,大家在解决此类问题时要特别注意。概率是中学数学的一大亮点和热点,也是今后进一步学习数理统计的基础，在实践方面也有很重要的应用，广泛渗透统计学，经济学等许多学科，常与函数、方程、不等式、实际生活问题等其它数学知识相结合,使数学问题的情景更新颖别致,因此我们要给与足够的重视。在概念的学习，理论的理解，以及方法上的研究都要积极发挥主观能动性，我们要在实践中不断练习，不断总结，才能较好地把握这门学科。
参考文献
[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社.2004
[2]潘佩.概率中易混淆概念的对比与思考[J].高中数学教与学,2007
[3]管景华.从错解辨析到概念清晰[J].高中数学教与学,2007
[4]孙春生.例析概率题中的典型错误[J].上海中学数学,2007