摘要： 通过实例说明两事件相互独立与互不相容的区分，以及对相互独立的理解。通常情况下，两事件的相互独立性受到样本空间的结构以及概率测度P的定义方式的影响和制约。
Abstract： Through examples， it states the difference that the two events are mutual independence and incompatible， and the understanding of mutual independence. Usually， the independency of the two events are influenced and restricted by the sample space structure and the definition of probability measure P.
关键词： 事件；相互独立；互不相容
Key words： events；mutual independence；incompatible
中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）33-0318-02
0 引言
在概率论中，事件的独立性是非常重要的基本概念。通常情况下，概率论中涉及到的许多内容都是在假设独立的前提下进行讨论的，在概率计算的简化和证明中有着广泛的应用。我们在学习的过程中，首先要理解相互独立的意义，才能理解相互独立的随机事件之间概率的关系，然后再返回来利用这些关系判断两事件的独立性。在教学过程中，有些学生分不清相互独立和互不相容的关系。在这里，对相互独立和互不相容我们通过简单的例题进行区分，进而在一定程度上，将两事件的独立性与样本空间Ω的结构、概率测度P的定义方式的关系向学生进行直观地阐述。
1 相互独立事件与互不相容事件区分
例1 一名枪手进行射击训练，向A靶和B靶射击。设事件A={向A靶射击}，事件B={向B靶射击}。则A、B事件不能同时发生，A发生B一定不发生，A的发生影响B的发生，这两个事件为互不相容事件。
例2 两名枪手A、B进行射击训练，设事件A={A射中}，事件B={B射中}。由于一人射击命中与否不受另一人射击是否命中影响，因此这两个事件为相互独立事件。
以上两例说明，判断两事件是相互独立还是互不相容的关键是看一个事件的发生对另一事件的发生是否有影响。
再如：
例3 若在概率空间（Ω，F，P）中，A、B相互独立，令P（A）=■，P（B）=■，P（AB）=P（A）P（B）=■且满足A≠Φ，B≠Φ，如图1所示，显然A∩B≠Φ，故A，B不互斥。
例4 以随机的方式在区间0，■内任意投一点。事件A、事件B分别表示点落在子区间0，■内的概率和点落在子区间1，■内的概率。显然A∩B≠Φ，但是P（AB）=O≠P（A）P（B），由互斥不能推出相互独立。
综上所述：在概率空间（Ω，F，P）内，既非0又非1的两个事件A，B。如果A和B互斥，那么A和B一定不独立；如果A和B独立，那么A和B必定不是互斥。
下面我们着重讨论相互独立的相关内容。
定义：在一个概率空间（Ω，F，P）内，如果A，B∈F。同时满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。
2 相互独立事件与样本空间结构的关系
例5 甲班有51名同学，其中男生30人，女生21人，男团员10人，女团员7人。从甲班任意叫出一位同学，A表示该生为男生事件，B表示该生为团员事件。则有：
p（A）=■ p（B）=■ p（AB）=■
p（A/B）=■=■=P（A） p（B/A）=■=■=P（B）
对例5进行分析，B发生的概率不受A事件的任何影响，同样B发生的概率也不会影响A事件发生的概率。事件A和事件B互不影响，事件A和事件B发生概率的性质称为相互独立性。
例6乙班有51名同学，其中男生30人，女生21人，男团员7人，女团员10人，从乙班任意叫出一位同学。A表示该生为男生事件，B表示该生为团员事件，则有：
p（A）=■ p（B）=■ p（AB）=■
p（A/B）=■=■ p（B/A）=■=■ p（B/AC）=■=■>P（B） 通过对例6进行分析，事件B发生的概率影响到事件A发生的概率，同样事件A发生的概率对事件B发生的概率也会产生影响。通过对例5、例6进行分析，可知同样的两个事件相互独立与否与样本空间的内容结构有关。 3 相互独立与随机事件的概率测度P的定义方式有关 例7向[0，1]随机抛掷一个点，以A表示该点落在0，■中，B表示该点落在■，■中，令Ω=[0，1]，F=β∩[0，1]，P=L（β为波雷尔集，L表示勒贝格测度），则：P（A）=P（B）=■；P（AB）=■-■=■；P（AB）=P（A）·P（B）。 例8向[0，1]随机抛掷—个点，以A表示该点落在0，■中，B表示该点落在■，■中，令Ω=[0，1]，F=β∩[0，1]，？坌E∈F，P（E）=■■，则： P（A）=■■=■■=■ P（B）=■■=■ P（AB）=■■=0 在例7中，同样的两个事件A与B，所定义的概率在测度空间下，事件A与B相互独立，而在例8所中相互不独立。对于任何概率空间（Ω，F，P），以下结论成立： ①任何事件A都与必然事件Ω独立。 ②任何事件A都与Φ独立。 4 判断两事件独立性的方法 通常情况下，我们不用定义对两事件是否独立进行判断，而是通过试验的方式进行判断，或者看一个事件的发生对另一事件的发生是否产生影响来判断。 例9在袋中有白球和黑球各6个，在有放回的摸球的试验中，设第一次摸到白球为事件A1，第二次摸到黑球为事件A2，显然A1只与第一次试验相关，A2只与第二次试验相关，A1对A2发生的概率不产生影响，即P（A2）=P（A2|A1），从而事件A2与事件A1，相互独立。 通过分析可知，学习随机事件独立性的相关问题，要理解随机事件独立性的概念和意义，对事件的独立性可以通过独立性概念和独立性的相关性质进行判断。 参考文献： [1]和燕.如何正确理解两事件的相互独立性[J].高等数学研究，2004. [2]杨振明.概率论[M].北京：科学出版社，2000. [3]张福利.随机事件独立性的教学探讨[J].产业与科技论坛，2010. [4]陈圣灿.关于随机事件独立性的若干问题探讨[J].考试周刊，2012.