【摘要】本文以到自动取款机处取款这件在大学校园中再寻常不过的排队现象为基础，通过实地数据搜集、整理和归纳，根据排队论的具体理论内容，通过分布拟合检验，排队系统模型确定，排队系统模型描述和排队系统模型计算等一系列方法步骤确定了ATM机的最佳个数。
【关键词】排队论；ATM取款
根据实际调查，我校自动取款机有四个柜台，学生取款时选取一个队伍排队等候服务，构成多队——并列多服务台的情形。单位时间内到达的学生数和学生的自助操作时间是随机的，假定学生的到达和自助操作时间的分布平稳（即分布的参数不随时间的变化而变化）。调查的内容是单位时间内到达的学生以及每名学生的自助操作时间。
1.原始数据的采集
1.1 单位时间内到达的学生数
以1分钟为1个单位时间，随机调查100个单位时间，记录每个单位时间内到达的学生数，经过计算得：所有样本之和1=430，样本容量n1=100
1.2 每位学生的自助操作时间
随机调查了100名学生的自助操作时间，经过计算得：所有样本之和2=4381，样本容量n2=100。
2.分布拟合检验
运用排队论的知识解决实际问题，我们必须确定实际中的排队问题符合哪种排队模型，其中很重要的一项就是要确定学生的到达过程以及每名学生的自助操作时间满足什么规律。学生到达过程形成Poisson流，每名学生的自助操作时间服从双参数指数分布。
3.排队模型系统的描述
c个M/G/1/∞/∞/FCTS型排队模型系统（c=1，2，3）可以用下面的数量指标进行描述。
假定顾客一旦排上一个队就不再换到另一个队上去，即顾客被分流。则顾客到达率λ分流变成λ/c，而每个服务台的服务率μ不变。
某一个ATM空闲的概率P0=1-λ/（cμ）=1-ρ，整个系统每个窗口都空闲的概率为Pc0=（1-ρ）c；顾客到达系统，得不到及时服务、必须排队等候的概率P2=（λcμ）c=ρc，顾客来到系统不需要等待就可获得服务的概率Pc=1-Pw。
每一个ATM前的平均排队的顾客数
Lq=λc2σ2+（λ/（cμ））22（1-λ/（cμ））=（ρμ）2σ2+ρ22P0=ρ2（μ2σ2+1）2P0
整个系统中的平均排队顾客数cL1q。
每个ATM前的平均学生数Ls=Lq+λ/（cμ）=Lq+ρ，整个系统中的平均顾客数cLs。
一个学生花在排队上的平均时间：Wq=cLq/λ，一名学生在系统里的平均逗留时间：Ws=Wq+1/μ。
4.排队模型系统数量指标的计算
根据公式，计算各指标，得λ1=430100=4.3（人/分钟）=0.0717（人/秒）；λ2=14381100=124.81=0.0403；
σ=1λ2=24.8139；μ=1/（μ2+1λ2）=1/（μ2+σ）=0.0228
c的变化所造成排队系统各指标的变化的情况，结果见表1。
表1c的变化所造成的排队系统各指标的变化
c的变化ΔρΔPc0ΔPwΔLsΔLqΔWsΔWq
4→50.15730.00490.28371.3621.204757.396157.3961
5→60.10480.00460.07770.42730.322517.175717.1758
5.结论
当ATM机个数由5个增加到6个时，Pw、Ls、Lq、Ws、Wq虽有所下降，但降幅不及ATM机个数由4个增加到5个时峻猛。这从表1中ΔPW、ΔLs、ΔLq、ΔWs、ΔWq的绝对值大小就可以看出来，绝对值越大，说明由于增加ATM机个数造成的指标变化越峻猛。当ATM机个数继续增加时，Pw、Ls、Lq、Ws、Wq都随之下降，但下降的速度更为缓慢和平缓。
综上所述，选取 =5（即增加一个ATM机）是比较合适的选择。系统的窗口数从4个增加到5个时系统的数量指标变化的最为峻猛，既提高了服务系统的效率，又使用于增加ATM机的开支较小。
参考文献：
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