摘 要 线性规划是近几年高考的必考内容，线性规划问题已成为近几年高考的热点问题。高考以考查线性目标函数的最值重点，兼顾考查代数式的几何意义（如斜率、距离、面积等），多以选择题、填空题以及解答题中的小题出现。本文主要介绍解简单线性规划问题中的图解法，并对近几年全国各高考试卷中出现的有关问题解法作一些探讨。
关键词 可行域 图解法 最值 约束条件
中图分类号：G424 文献标识码：A
Study of Solution to Simple Linear Programming
in College Entrance Examination
WEN Xiangdan
（College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133002）.
Abstract A simple linear programming is a necessary part for college entrance examination and it has become a hot problem in recent years. In the college entrance examination， optimal value of linear objective function， algebraic expression of geometry （e.g.， slope， distance， area， etc.） can be examined in the form of multiple choice question， filling in the blanks and small items of answering questions. This paper mainly introduces the solution to graphical method of simple linear programming， makes a further study of solving problems related to national college entrance examination these years.
Key words feasible线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视。简单线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划。简单线性规划是沟通几何知识与代数知识的重要桥梁，是不等式与解析几何的结合，是数形结合的集中体现。
简单线性规划问题就是把一个实际问题（例如在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好）找出约束条件和目标函数，利用图解法求最优解。
1 用图解法解简单线性规划问题的算法步骤
简单线性规划问题，我们可以用图解法来求解。图解法不仅直观，而且可从中得到有关简单线性规划问题的许多重要结论，有助于我们理解简单线性规划问题求解方法的基本原理。图解法要求是：在平面上画出可行域，画出目标函数的等值线，将目标函数的等值线平移得到最优解。
图解法的步骤为：
第一步：建立平面直角坐标系；
第二步：图示简单线性规划问题的约束条件，画出简单线性规划问题的可行域；
第三步：画出目标函数 = + 的法线方向；
第四步：图示目标函数的等值线束（注意等值线束必须在可行域内）；
第五步：若是求最大值问题，将目标函数的等值线束沿其法线正方向平移，（若是求最小值问题，将目标函数的等值线束沿其法线负方向平移），直到再继续移动就与可行域不相交时为止，此时该目标函数直线与可行域的交点即为最优解。
2 已知线性约束条件，探求线性目标函数最值
例1 （2012年全国新课标卷·理）设，满足约束条件：
则 = 的取值范围为（ ）。
解：这一问题的可行域如图1所示。目标函数的等值线 = 沿法线正方向平移，得到最优解，而最大值为 = = 0。目标函数的等值线 = 沿负法线方向平移，得到最优解，而最小值为 = = 0。因此， = 的取值范围为〔〕。
3 构造线性约束条件，探求应用问题最值
例2 （2012年四川卷·理）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲产品可获得利润300元，每桶乙产品可获得利润400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过12千克，B原料不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是
A.1500元 B.2200元 C.2600元 D.2800元
解：设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为，故该问题的数学模型即
在约束条件下，求 = + 目标函数的最大值。
这一问题的可行域如图2所示。目标函数的等值线1200 = + 沿法线正方向平移，得到最优解，而最大值为 = 1200 + 1600 = 2800，故选择D。
4 最优解问题
在线性规划问题中，线性约束条件所确定的可行域包括其边界，则目标函数的最优解个数往往是一个或无穷多个，一般地有：（1）最优解个数为一个时，可在可行域的边界交点处取得；（2）最优解个数为无穷多个时，可在可行域的一条边界上取得，此时目标函数所对应的直线与这条边界重合。
利用以上两个结论来处理高考题中的线性规划客观题，简洁明快，达到化繁为简的目的，下面举例说明最优解个数为无穷多个情况。
例3 （2006年湖北卷·理）已知平面区域由以（1，3），（5，2），（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域上有无穷多个点（）可使目标函数 = + 取得最小值，则 = （ ）
A.2 B.1 C.1 D.4
解：为使目标函数 = + 的最优解有无穷多个，直线 = + 应与边界线或或重合。而要使目标函数取得最小值，只能与直线重合，于是 = = ，即 = 1故选C。
总之，利用简单线性规划的图解法，可以提高学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。本文从图解法解简单线性规划问题出发，将不等式作为解决优化问题的工具，用不等式组刻画平面区域，借助几何直观解决一些简单线性规划问题，有助于学生体会优化思想，理解数形结合方法，体会不等式在解决与实际情境相关的优化问题中的工具作用。
region； graphical method； optimal value
参考文献
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