材料均为钢材，弹性模量E和密度分别为2.06×105 MPa和7 800 kg/m3，横截面面积为0.1 m2。底端固定约束的4个点构成的平面定义为xz平面，竖直方向为y方向。每层塔的序号由下至上依次为1～16。考虑静力和动力2种情况进行分析，验证本文方法的有效性。
3.1 静力桁架分析
在桁架顶端的节点A处施加垂直向下的集中力，大小为108 N。采用杆单元对上述桁架进行有限元建模，得到刚度矩阵K和载荷向量F后，直接求解刚度方程，所得的解为参考解。刚度矩阵K、载荷向量F以及参考解借助ANSYS分析得到。导出刚度矩阵和载荷向量后，再利用群表示矩阵的特征向量将刚度矩阵对角化后进行计算。图2所示桁架的每一层在xz平面的投影均为正方形（见图3），具有多种对称性，这里选用镜面对称计算。每层桁架的4个节点关于oo轴和pp轴对称，先分析关于oo轴对称的群表示矩阵。
3.2 动力响应分析
仍以图2a）所示桁架为例，以1940年EI Centro地震的南北方向地震加速度为x方向的地震动输入，采样周期为0.02 s，时间步总数为1 500步。采用瑞利阻尼模型，阻尼矩阵为C=0.24M+0.001 6K。
仍采用ANSYS建模计算得到的解为参考解，然后从ANSYS中导出刚度矩阵K和质量矩阵M，采用与静力分析相同的群表示矩阵分析。动力响应分析研究比较成熟[24-26]，目前有许多优秀算法，这里选择Newmark算法计算。本文方法计算得到的顶层A点在x方向的位移响应见图4a），A点在x方向的位移与参考位移的误差见图4b）。由此可以看出，误差基本在10-13的量级，这说明本文方法对于桁架的地震响应分析依然有效，计算结果与参考解基本相同。
有限元建模得到的刚度矩阵K和对角化后的刚度矩阵的非零元素分布见图5，有限元建模得
到的质量矩阵M和对角化后的质量矩阵的非零元素分布见图6，其中nz表示非零元素个数。由图5和6可见，不论是刚度矩阵还是质量矩阵，在利用群表示矩阵对角化后，矩阵的非零元素和矩阵带宽均远小于原矩阵中的非零元素和矩阵带宽，即计算存储量变小了。同时，对角化后的刚度矩阵和质量矩阵均为6对角块矩阵，这意味着可以分块求解每个对角矩阵。维数为N的刚度矩阵K计算量约为
O（N2），分塊求解每个小的n维对角块矩阵，其计算量为O（n2），显然分块求解计算量要小得多。这里采用2种群表示矩阵的组合，即G=Roo+πRpp。若仅仅采用Roo或Rpp，则只能将刚度矩阵或质量矩阵转化成二对角块矩阵，因此采用群表示矩阵组合的效果比采用单一类型的对称群表示矩阵效果更好。
4 结束语
为分析对称结构，提出一种新的群论方法。该方法利用对称结构的群表示矩阵的特征向量，可以将对称结构的刚度矩阵、质量矩阵等系统矩阵变换为对称块矩阵。与传统群论方法相比，本文方法不涉及不可约表示、投影算子、舒尔定理和特征标表等理论，易于掌握和推广。当对称结构具有多重不同类型的对称时，可以充分运用结构的对称性，将不同的群表示矩阵进行组合，使系统矩阵能够尽可能地块对角化。工程中存在许多对称结构，如空间大跨度网架结构、径球面射电望远镜FAST和卫星天线等，本文推导的群论方法能给这些问题的分析带来帮助。
参考文献：
[1] 钟万勰， 裘春航. 部分对称结构的分析理论[J]. 力学学报， 1981， 17（4）： 387-398.
[2] 杨刚， 傅奕轲， 胡德安. 固体冲击模拟的轴对称光滑粒子法[J]. 计算机辅助工程， 2013， 22（6）： 84-89.
[3] 刘福寿， 金栋平. 环形桁架结构径向振动的等效圆环模型[J]. 力学学报， 2016， 48（5）： 1184-1191. DOI： 10.6052/0459-1879-16-076.
[4] 钟万勰， 裘春航， 程耿东. 群论在结构分析中的应用[J]. 力学学报， 1978， 14（4）： 251-267.
[5] HAMERMESH M. Group theory and its application to physical problems[M]. New York： Dover Publications， 1989： 509.
[6] FALTYNEK R A. Group theory in advanced inorganic chemistry： An introductory exercise[J]. Journal of Chemical Education， 1995， 72（1）： 20-24. DOI： 10.1021/ed072p20.
[7] 周军. 群论在几何结晶学中的应用[J]. 地球科学与环境学报， 1993（2）： 94-96.
[8] 余秋玲， 李怡， 余小玲. 基于组合群论的新公钥密码体制研究[J]. 内江师范学院学报， 2009， 24（4）： 29-31.
[9] THOMAS D L. Dynamics of rotationally periodic structures[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1979， 14（1）： 81-102. DOI： 10.1002/nme.1620140107.
[10] WILLIAMS F W. An algorithm for exact eigenvalue calculations for rotationally periodic structures[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1986， 23（4）： 609-622. DOI： 10.1002/nme.1620230407.
[11] WILLIAMS F W. Exact eigenvalue calculations for structures with rotationally periodic substructures[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1986， 23（4）： 695-706. DOI： 10.1002/nme.1620230411.
[12] WILLIAMS F W. A warning on use of symmetry in classical eigenvalue analyses[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1978， 12（2）： 379-381. DOI： 10.1002/nme.1620120215.
[13] KAVEH A， SAYARINEJAD M A. Eigensolutions for matrices of special structures[J]. Communications in Numerical Methods in Engineering， 2003， 19（2）： 125-136. DOI： 10.1002/cnm.576.
[14] FRICKER A J， POTTER S. Transient forced vibration of rotationally periodic structures[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1981， 17（7）： 957-974. DOI： 10.1002/nme.1620170703.
[15] KAVEH A， NIKBAKHT M， RAHAMI H. Improved group theoretic method using graph products for the analysis of symmetric-regular structures[J]. Acta Mechanica， 2010， 210（3-4）： 265-289. DOI： 10.1007/s00707-009-0204-1.
[16] KAVEH A， NIKBAKHT M. Analysis of space truss towers using combined symmetry groups and product graphs[J]. Acta Mechanica， 2011， 218（1-2）： 133-160. DOI： 10.1007/s00707-010-0411-9.
[17] CHEN Y， FENG J. Group-theoretic method for efficient buckling analysis of prestressed space structures[J]. Acta Mechanica， 2015， 226（3）： 957-973. DOI： 10.1007/s00707-014-1234-x.
[18] 高强， 姚伟岸， 吴锋， 等. 周期结构动力响应的高效数值方法[J]. 力学学报， 2011， 43（6）： 1181-1185.
[19] 刘岭， 杨海天. 基于拉格朗日乘子法和群论的具有任意位移边界条件的旋转周期对称结构有限元分析[J]. 计算力学学报， 2004， 21（4）： 425-429.
[20] 裘春航， 邓可顺， 钟万勰. 用多层子结构与群论相结合的方法分析对称结构[J]. 固体力学学报， 1986（1）： 1-14. DOI： 10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.1986.01.001.
[21] ZINGONI A. On group-theoretic computation of natural frequencies for spring-mass dynamic systems with rectilinear motion[J]. Communications in Numerical Methods in Engineering， 2008， 24（11）： 973-987. DOI： 10.1002/cnm.1003.
[22] RICHARDSON J N， ADRIAENSSENS S， BOUILLARD P， et al. Symmetry and asymmetry of solutions in discrete variable structural optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2013， 47（5）： 631-643. DOI： 10.1007/s00158-012-0871-8.
[23] KANGWAI R D， GUEST S D， PELLEGRINO S. An introduction to analysis of symmetric structures[J]. Computers & Structures， 1999， 71（6）： 671-688. DOI： 10.1016/S0045-7949（98）00234-X.
[24] NEWMARK N M. A method of computation for structural dynamics[J]. ASCE Journal of Engineering Mechanics， 1959， 85（3）： 67-94.
[25] 李秀梅， 吳锋， 张克实. 结构动力微分方程的一种高精度摄动解[J]. 工程力学， 2013， 30（5）： 8-12.
[26] 李秀梅， 吴锋， 苏金凌. 结构动力响应分析的李雅普诺夫法[J]. 工程力学， 2010， 27（11）： 16-21.
（编辑 武晓英）