摘要:为研究多晶体宏细观力学响应,针对立方晶系单晶体提出形式与Hill屈服准则相关联的形状改变比能;以此为屈服考察量,建立适用于立方晶系的单参数Hill屈服准则;用MSC Marc对立方晶系多晶体进行细观应力有限元分析.α-Fe多晶体样本单向拉伸有限元分析表明:多晶体的拉伸应力在细观尺度下分布不再均匀;多晶体3个样本的最大细观拉伸应力与最小细观拉伸应力的比值,在弹性状态下的平均值为2.1,在塑性强化阶段处于1.15~1.28之间.
关键词:立方晶系; 形状改变比能; Hill屈服准则; 细观应力; 有限元分析; MSC Marc
中图分类号:TB301; O346; TB115文献标志码:A
Finite element analysis on microscopic stress of
cubic system polycrystal
WEI Guangmeia, SHI Zhimingb, WANG Chuana
WANG Yongweia, ZHANG Yunfenga
(a. College of Sci.; b. College of Materials, Inner Mongolia Univ. of Tech., Hohhot 010051, China)
Abstract: To investigate the macroscopic and microscopic mechanics response of polycrystal, a formula for the specific energy of shape change on the cubic system monocrystal is derived which is corresponding to Hill yield criterion in form, a one-parameter Hill yield criterion for cubic system is established by taking the specific energy of shape change as the yield reference quantity, and the microscopic stress of the cubic system polycrystal is analyzed by MSC Marc. The uniaxial tension finite element analysis on the α-Fe polycrystal samples indicates that the distribution of the tension stress is no longer uniform in the microscopic scale; the average ratio of the maximum microscope tension stress to the minimum one in three polycrystal samples is 2.1 under the elastic state and is in the range of 1.15 to 1.28 at the plastic strengthen phase.
Key words: cubic system; specific energy of shape change; Hill yield criterion; microscopic stress; finite element analysis; MSC Marc
收稿日期:2009-[KG*9〗06-[KG*9〗28修回日期:2009-[KG*9〗09-[KG*9〗24
作者简介: 韦广梅(1965—),女,内蒙古呼和浩特人,副教授,硕士,研究方向为马氏体相变,(E-mail)wei_guangmei@yahoo.com.cn;
史志铭(1964—),男,内蒙古呼和浩特人,教授,博导,博士,研究方向为材料宏细观力学行为,(E-mail)shizm@imut.edu.cn0引言
金属材料由许多大小、形状、方位各不相同的单晶体构成,其宏观材料参数及力学响应为各晶粒的平均.传统力学分析的宏观研究点实际是1个包含大量晶粒的多晶体.材料损伤和断裂、塑性成型及相变细微观动力学等研究不仅涉及材料宏观力学响应,也涉及各晶粒的细观力学响应.[1-4]有限元法是研究多晶体宏细观力学响应的重要方法之一,多晶体有限元模型建立的关键之一是确定细观尺度下的本构关系, 特别是塑性状态下的本构关系.描述晶体材料的塑性理论有建立在材料物理机制基础上的晶体塑性模型理论和以Hill模型为代表的连续塑性理论2类.晶体塑性模型理论以位错动力学为基础,主要用于以屈服微观机理为滑移的多晶体大变形分析中,如塑性成形等研究领域[1,4],且算法实现上也存在一定困难.连续塑性理论,以其与大量实验吻合较好、形式简洁、计算处理方便等优势在实际中得到广泛应用[5-6],现有有限元商用软件中的塑性本构关系均以此为理论基础.
就连续塑性理论而言,Mises屈服准则被广泛应用于各向同性材料中,其物理解释为八面体切应力准则或形状改变比能准则等.对于正交各向异性材料,HILL[7]于1948年给出以八面体切应力为基础的Hill正交各向异性屈服准则,该准则在半个世纪内得到广泛应用.文献[8]提到1962年格里菲斯和巴特温从能量的观点出发,对正交各向异性材料提出1个单参数强度准则,认为当形状改变比能达到某临界值时材料发生破坏,关于这一准则的发展及应用未见更多报道.对于晶体材料,俞茂宏在文献[8]详细综述前人给出的包括八面体切应力准则的若干连续塑性屈服准则,而这些准则没有1个是明确以形状改变比能为判断条件的.
材料为各向同性时,八面体切应力与形状改变比能的平方根仅相差1个常数,八面体切应力准则实际就是形状改变比能准则;对于各向异性晶体材料,八面体切应力与形状改变比能不存在上述简单关系,八面体切应力准则并非形状改变比能准则.晶体屈服的微观机理为滑移及孪晶,其形变为剪切变形,给出以形状改变比能为考察量的屈服条件具有合理性.Hill正交各向异性屈服准则涉及6个材料参数(对于立方晶系这类特殊正交各向异性材料其参数独立数为2),而对于一般正交各向异性材料其弹性常数为9个,故一般正交各向异性材料的形状改变比能屈服准则不能写成Hill形式.对于立方晶系这类特殊正交各向异性材料,其弹性常数仅为3个,形状改变比能屈服准则可以写成上述Hill准则形式,对比二者,可以将多参数的Hill准则退化为单参数Hill准则,并且具有明确的形状改变比能准则物理含义.本文针对立方晶系单晶体建立具有明确以形状改变比能为判断条件的单参数Hill屈服准则,并将其应用于多晶集合体有限元分析,给出弹塑性状态下多晶集合体的细观应力分布.
1立方晶系单晶体单参数Hill屈服准则的建立1.1立方晶系单晶体形状改变比能
立方晶系具有特殊的正交各向异性,其弹性常数独立数为3个,在材料主轴坐标系nst下,广义胡克定律公式为εn
εs
εt
γst
γnt
γns=1/E<100>-μ12/E<100>-μ12/E<100>000
-μ12/E<100>1/E<100>-μ12/E<100>000
-μ12/E<100>-μ12/E<100>1/E<100>000
0001/G1200
00001/G120
000001/G12 σn
σs
σt
τst
τnt
τns(1)式中:E<100>,μ12和G12为工程材料参数,可由弹性常数C11,C12和C44换算得到.线弹性下应变能密度为ν=12E<100>(σ2n+σ2s+σ2t)+12G12(τ2ns+τ2st+τ2nt)-μ12E<100>(σnσs+σnσt+σsσt)(2)小应变线弹性下体积改变比能在材料主轴坐标系下的推导如下:
体积应变εv=εn+εs+εt(3)其中εn=S11σn+S12σs+S12σt
εs=S12σn+S11σs+S12σt(4)
εt=S12σn+S12σs+S11σt式中:S11和S12为柔度系数,S11=1E<100>, S12=-μ12E<100>(5)由式(3)和(4)推得εv=(S11+2S12)(σn+σs+σt)(6)将式(5)代入式(6),得
εv=1-2μ12E<100>(σn+σs+σt)=3(1-2μ12)E<100>σm(7)
其中σm=(σn+σs+σt)/3由式(7)知立方晶系材料单位体积的体积应变εv只与3个正应力之和有关,至于3个正应力之间的比例,对εv并无影响.所以,无论是作用3个不相等的正应力σm,或是代以它们的平均应力,单位体积的体积改变比能仍然相同.为此,令σn=σs=σt=σm, τns=τst=τnt=0.代入式(2)得体积改变比能νv=12E<100>(σ2m+σ2m+σ2m)-μ12E<100>(σ2m+σ2m+σ2m)=1-2μ126E<100>(σn+σs+σt)2(8)由式(2)和(8)推得小应变线弹性下形状改变比能νd=ν-νv=1+μ126E<100>(σn-σt)2+1+μ126E<100>(σt-σs)2+1+μ126E<100>(σs-σn)2+12G12τ2+12G12τ2st+12G12τ2nt(9)1.2与形状改变比能对应的立方晶系单晶体的当量应力定义与式(9)形状改变比能对应的当量应力σeq=3E<100>1+μ12νd=12(σn-σt)2+(σt-σs)2+(σs-σn)2+3E<100>G12(1+μ12)τ2ns+3E<100>G12(1+μ12)τ2st+
3E<100>G12(1+μ12)τ2tn12(10)当对立方晶系单晶体沿材料主轴〈100〉晶向单向拉伸时,其当量应力就等于沿〈100〉晶向的单向拉伸应力σ<100>. 1.3立方晶系单晶体单参数Hill屈服准则的建立
Hill正交各向异性屈服准则为12[F(σn-σs)2+G(σs-σt)2+H(σt-σn)2+2Lτ2ns+2Mτ2st+2Nτ2tn]1/2=σs(11)式中:F,G,H,L,M和N均为材料参数;σs为某一方向屈服应力,共涉及F/σs, G/σs, H/σs, L/σs, M/σs和N/σs 6个材料屈服参数,对于立方晶系,因F=G=H,M=L=N,退化为2个材料屈服参数.以式(10)定义的与形状改变比能对应的当量应力为屈服考察量,当当量应力达到屈服极限σs时材料屈服,σs可以取沿〈100〉晶向拉伸时的屈服应力σ<100>s.对应的屈服条件为12(σn-σt)2+(σt-σs)2+(σs-σn)2+3E<100>G12(1+μ12)τ2ns+3E<100>G12(1+μ12)τ2st+3E<100>G12(1+μ12)τ2tn12=σ<100>s(12)对比式(11)和(12)可见:当F,G和H取1,L,M和N取3E<100>/[2G12(1+μ12)],σs取σ<100>s时,Hill屈服准则等价于以形状改变比能对应的当量应力为屈服考察量的屈服条件,而材料屈服参数仅涉及1个σ<100>s.σ<100>s可由沿〈100〉晶向拉伸实验获得,也可由相关文献提供的α-Fe临界分切应力间接推出,本文采用后者.
2立方晶系多晶体拉伸细观应力有限元模拟以MSC Marc为平台,以常温常压下的α-Fe(立方晶系)多晶体(不考虑晶界厚度即晶界影响)为例进行多晶体拉伸细观应力有限元模拟.
2.1有限元模型
多晶集合体三维细观有限元模型,由大小相同的12×4×4个立方体单元构成,见图1.每个单元同时代表1个晶粒,假设所有样本中的所有晶粒空间取向概率相同.每个晶粒的3个材料主轴系在整体坐标系下的方位由3个独立随机角度表征,这3个角度分别是晶粒由“0位”(即晶粒材料主轴与整体坐标一致)绕整体坐标系3个坐标轴转过的角度,每个角度由随机生成的0-1均匀随机数折算给出.为从统计意义上考察细观应力值,生成3个多晶集合体随机样本.
图 1有限元模型
2.2细观材料参数
细观材料参数指多晶集合体中每个晶粒的材料参数和.常温常压下铁为体心立方结构,弹性常数C11=237 GPa,C12=141 GPa,C44=116 GPa[9],由其换算得E<100>=134 GPa,G12=116 GPa,μ12=0.37.
初始当量屈服应力σ<100>s由文献[10]给出的α-Fe临界分切应力为27.6 MPa,经Schmid定律换算得到,约为70 MPa.细观应变硬化行为仍取Hollomon关系式S=Ken,根据文献[11]提到的α-Fe应变硬化指数有关数据,近似取α-Fe单晶体沿〈100〉晶向的应变硬化指数n〈100〉=0.2.将σ<100>s=70 MPa(e=0.2%)代入S=Ken,得K〈100〉≈242 MPa.
2.3弹性状态下的拉伸模拟结果及分析
弹性状态下多晶体拉伸模拟,采用在边界GHFE面上(见图1)施加沿x方向的面力拉伸载荷方式.位移边界条件为:ABDC面x方向位移为0; CDHG面y方向位移为0 ;ACGE面z方向位移为0.
上述边界条件下,对于各向同性材料的计算显示拉伸应力分布非常均匀,故分析时可忽略计算误差的影响.
模拟显示弹性状态下多晶体的细观拉伸应力分布不均匀,由于篇幅所限,本文只给出多晶体样本1的细观拉伸应力σx云图,见图2.多晶体由晶向随机分布的晶粒组成,晶粒力学性质各向异性,这一材料细观各向异性导致宏观均匀分布的拉伸应力,在细观层次上不再均匀.为了进一步量化考察细观应力分布的不均匀性,本文计算每个样本的细观拉伸应力最大值与最小值的比值,3个样本的比值分别为2.5,1.8和2.06,其均值为2.1.该数据反映多晶体在弹性状态下细观拉伸应力分布很不均匀,为此对细微观应力敏感的研究领域(如材料损伤、断裂、相变等)不可忽视.
图 2弹性状态下细观拉伸应力σx的云图
2.4弹塑性状态下拉伸模拟结果及分析
弹塑性状态下的模拟采用位移加载方式.有限元模型(见图1)边界条件为:ABDC面上所有节点x方向位移为0; AB,BD,CD,AC,EF,FH,HG和GE边上所有节点y和z方向位移也为0;GHFE面施加x方向位移载荷.
对多晶体的3个样本进行模拟.为了对比,也对1个软位向和1个硬位向单晶体进行模拟.软、硬位向单晶体模型在多晶体模型基础上给出,具体为:取多晶体所有单元材料主轴(nst)与整体坐标xyz重合,形成沿晶向拉伸的软位向单晶体;取多晶体所有单元的材料主轴坐标系绕整体坐标x轴旋转0°,绕y轴旋转15°,绕z轴旋转45°,形成基本沿<111>晶向拉伸的硬位向单晶体.篇幅所限,本文只给出样本1及软位向单晶体在拉伸位移u=2(模型总长12)时的细观真实拉伸应力云图,见图3和4.
图 3样本1细观Sx的云图
图 4软位向单晶体细观Sx的云图
图3和4显示:在弹塑性状态下,单晶体中间段的细观真实拉伸应力分布均匀,而多晶体中间段不均匀.这表明多晶体细观各向异性对其细观应力分布的影响在弹塑性状态下仍然存在.为进一步定量考察多晶体细观拉伸应力分布的不均匀程度,分析几个加载步(模型总长为12,对应加载位移为u).为消除边界影响,在每个加载步下,只取模型中间段的4×4×4个单元进行分析,这些单元细观拉伸应力的最大值与最小值的比值r与加载位移u的关系见图5.
图 5拉伸应力最大值与最小值比值与加载位移关系
图5显示软、硬位向单晶体r在1.01～1.04之间;多晶体r在1.15～1.28之间.对于单晶体,无论何种位相,其细观拉伸应力分布理论上是均匀的(即r=1),本文模拟值为1.01～1.04,与理论值相差1%～4%,表明计算误差很小;多晶体r较单晶体的大,这是因为多晶体存在细观各向异性;多晶体r较其弹性状态下的均值2.1要小,这是因为多晶体由弹性阶段进入塑性强化阶段后,各晶粒由于晶向和应力状态不同,发生屈服及强化等的程度也不同,这导致应力重新分配,从而降低细观应力的不均匀程度,但这种不均匀性仍然存在,有关研究领域仍需考虑.3结论
(1)对于立方晶系这一类特殊正交各向异性材料,推导出形式与Hill屈服准则相关联的形状改变比能公式.
(2)以形状改变比能为屈服考察量,给出适于立方晶系的单参数Hill屈服准则,该准则具有物理含义明确、参数少、应用方便的优势.
(3)应用本文提出的单参数Hill屈服准则,可以方便、有效地对多晶体细观应力进行有限元分析.参考文献:
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(编辑廖粤新)