摘要：本文以自然沙丘的沙粒为研究对象，对不同粒径大小的沙粒采用“点源法”进行堆积实验Ⅲ，利用MATLAB程序模拟沙粒在堆积过程中的运动和休止角变化情况。通过分析平衡状态下沙堆表面颗粒的受力和沙堆内部力链的产生原因以及分布情况，得到如下结论：（1）崩塌角与休止角极小值相差约3度。（2）当休止角等于崩塌角时，沙堆处于临界状态，沙堆表面沙粒处于平衡状态，沙粒表面的摩擦系数等于崩塌角的正切值。（3）沙粒间相互挤压形成力链，当沙堆自由表面发生崩塌时，剪切应力与法向应力满足临界关系（或屈服准则）。（4）影响沙堆休止角的主要因素有沙粒的粒子形态（球形度），沙粒表面摩擦系数，粒径大小等。
关键词：休止角;力链;屈服准则
沙堆是典型的颗粒物质体系，近年来针对颗粒物质的若干关键科学问题开展的研究，得到了一些初步的理论研究成果，但在颗粒物质力学体系中依然存在许多有待发现的奥秘。休止角是指在平衡状态下颗粒物质堆积体的自由表面与水平面之间的夹角，是描述颗粒物质的物理性质的一个重要因素[2]。本文将以实际沙堆实验，以及MATLAB程序模拟为基础，分析研究沙堆内部力链的产生和分布情况，以及影响沙堆休止角的因素。
一、实验方法
本实验采用“点源法”进行沙堆实验，即沙粒从漏斗口自然下落到水平桌面上形成圆锥体，锥体的自由表面与水平线之间的夹角即为沙堆的休止角。沙粒完全下落并且沙堆完全静止后，测量出沙堆的高度H，底部直径D，可以得到沙堆的休止角极小值，即tanθr= 2H/D。由于沙粒下落带来的冲击力和测量的偏差，以及由tanθ计算出θ大小时存在的取值精度的影响都会对休止角的计算带来不可避免的误差。为了得到沙堆休止角的变化情况，以及避免计算带来的误差，本实验将在计算机软件MATLAB上仿真模拟并录屏，将录屏视频导入软件Tracker中（如图1所示），用该软件追踪休止角可得到比较准确的休止角变化情况。
二、实验与结果
（一）自然沙实验
选择粒径大小为125
（二）模拟实验
将MATIAB软件模拟的沙粒堆积过程视频导入Tfacker软件中，可得到沙堆休止角随时间变化的曲线（如图l所示）。本实验模拟了某一粒径大小的沙堆形成过程，当沙堆形成一定规模后开始测量休止角以得到较为准确的崩塌角与休止角极小值之间的差值。在本次实验中沙堆崩塌角与休止角极小值的差值为：
△θ=θm-θr=44.94°-41.86°=3.08°
三、理論分析
通过“点源法”实验以及MATLAB软件模拟的沙堆形成过程可以看到沙堆的崩塌只发生在沙堆表层的十几层颗粒当中。本文将从处于平衡状态下的沙堆自由表面颗粒的受力和沙堆内部的力链两个方面来研究沙堆休止角。
（一）沙堆自由表面的颗粒受力分析
当沙堆的休止角达到崩塌角时，沙堆处于临界状态并且表面沙粒开始滑动，其它的沙粒静止不动，所以可将静止的沙粒看成整体，然后作表层某一沙粒的受力分析，当μ=tan θm时，沙堆自由表面上的沙粒处于平衡状态，μ为沙粒表面摩擦系数。此时沙粒表面的摩擦系数等于崩塌角的正切值。
（二）沙堆内部的力链
假设相互接触的颗粒表面光滑，在接触面上仅发生弹性形变，则存在垂直于接触面的法向应力N为N=4/3E*（R*）1/2（α）3/2.其中为法向形变量，R*和E8分别为有效颗粒半径和有效弹性模量。当α非常微小时，两者会简单的满足胡克定律关系。
（三）屈服准则
库伦[6]指出，如果静态颗粒体内部的某一个面发生临界力学失衡，失衡面上的剪切应力和法向应力满足下面的临界关系（或屈服准则）。
T=μN+C=tanθmN+C
其中，C为颗粒间粘聚力或咬合力。
总结：
通过不同粒径大小的自然沙粒做沙堆实验以及模拟分析，得到沙堆体止角的极小值随粒径的增大而增大。沙粒表面的摩擦系数越大，粒子形态越不规则，沙堆崩塌时所需要的剪切应力越大，沙堆休止角极小值越大。沙堆内部存在复杂的力链结构，使得沙堆内部比较稳定，沙粒只在沙堆表面十几层颗粒中滑动。当沙堆休止角达到崩塌角时，表层沙粒处于力学平衡状态，根据受力分析可知，沙粒表面的摩擦系数等于崩塌角的正切值。力链是由颗粒之间互相挤压摩擦形成的，当沙堆自由表面发生临界力学失衡时，失衡面上的剪切应力和法向应力满足屈服准则。
参考文献：
[1]孙其诚，王光谦.颗粒物质力学导论[M].北京：科学出版社，2009：4
[2]刘建宝，王乃昂，程弘毅，杨文涛，郭志谦.沙丘沙休止角影响因素实验研究[J].中国沙漠，2010，30（4）：758-759
[3]孙其诚，王光谦.颗粒物质力学导论[M].北京：科学出版社，2009：4