【摘 要】虚数是高中数学教学中的难点之一，具有很重要的实际应用价值，然而笔者在教学中发现，学生对于负数开平方依然存在疑虑，对于虚数的概念的理解不够深刻。本文采用实证研究方法，对吉林和上海两地225名高中生进行问卷调查，了解学生对虚数的有关概念、代数运算、几何意义、实际应用等四方面理解和掌握情况。经过问卷统计分析以及对部分教师的访谈，运用SOLO分类理论对部分主观题目进行分析，了解学生对虚数的理解程度，探究其原因并得出相应的结论，意义在于为今后的虚数教学提供一些教学建议。
【关键词】虚数；实证研究；solo分类理论
【中图分类号】G632 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）15-0041-02
一、问题的提出
虚数是复变函数论、解析数论等数学领域的基本工具，复变函数论广泛应用于空气动力学、流体力学、弹性力学、制图、势流理论、热流量、静电通量以及周期性现象的研究[1]。因此，尽管虚数概念在高中数学课程中所占的比重并不大，但它的学习具有重要意义。研究表明，高中生在理解虚数时存在困难。林永伟等（2004）指出，中学生对虚数的困惑表现在三个方面：（1）表现出激烈的内心冲突；（2）对新学的知识难以接受和认同；（3）无法理解复数的本质[2]。汪晓勤等（2005）通过对高一学生的测试发现，超过三分之一的学生并不理解和接受虚数，他们对负数平方根的排斥和抗拒与历史上数学家的态度相似[3]。赵瑶瑶（2007）通过对高中生的调查发现，一半以上学生对虚数产生过疑惑[4][5]。
本研究将在前人研究的基础上考查现阶段高中生对虚数有关概念、代数运算、几何意义、实际应用四方面的理解和掌握情况，藉此了解他们在虚数知识点上的学习现状。具体研究问题为：
（1）学生对虚数是否存在认知障碍？造成这些障碍的原因有哪些？
（2）学生对虚数有关概念的理解程度如何？
（3）学生对于虚数的四则运算、几何表示以及实际应用的掌握情况如何？
二、研究方法
采用问卷调查（问卷见附录）和访谈的研究方法。被试为上海和吉林两地共225名高中生，其中上海地区被试为高二学生140人，吉林地区为高三学生85人。
问卷中题目（选出四题），考查学生对于虚数概念的理解，复数相等的灵活应用以填空的形式考查，学生运用复数的代数或者几何表示解决问题以解答题形式考查，虚数的学习对于学生数学学习的影响以选择题形式考查。另外，笔者访谈四位在职高中数学教师（F1、F2、M1、M2），深入了解目前学生学习虚数的困惑及难点等。
按照年级、性别、地区分类整理问卷，用SPSS进行T检验时，一些客观题按正确、错误、空白三类进行统计整理；对于部分主观题，根据学生所写的详细过程，分为完全正确、部分正确、错误和空白四类。对于部分主观题运用SOLO分类理论，判断学生处于哪个层次，从而了解学生对虚数的理解程度，探究其原因并得出相应的结论。（宋洁、赵洪，2005）
笔者根据SOLO分类理论对学生对虚数的理解水平进行划分：（1）前结构水平：不理解相应的概念、性质等，解题过程几乎全部错误，给出错误答案。（2）单点结构水平：只记住相应概念、性质等，答题过程只含一两步，但不能给出完整、正确的答案。（3）多点结构水平：理解相应知识并能加以运用，但对复杂问题不能有机整合，给出与正确答案接近的答案。（4）关联结构水平：深刻理解并能灵活运用所学知识点来解决问题，给出正确答案。（5）拓展抽象结构水平：能够根据所学知识用多种方法解决相关问题，灵活解决复杂问题，给出正确、简便的解题方法。
三、研究结果
1.有关虚数概念的理解。
第1题：你觉得引入虚数单位i的目的是什么？〖CD#6〗
此题的目的是了解学生对于虚数的概念理解程度如何。24.9%的学生可以准确地说出引入虚数单位的目的，能够认识到虚数的本质以及虚数与数系之间的关系。应用SOLO评价法，该部分学生处于水平4。14.2%的学生处于SOLO水平3，认为引入虚数的目的是求解方程；或者使的方程有解。25.3%的学生处于SOLO水平2，他们只是知道虚数是可以解决实数解决不了的问题，但他们并不知道虚数的本质是什么。究其原因，这与学生不了解虚数产生的历史背景有直接关系。笔者访谈了F1、M1老师，两位老师认为由于高考压力，虚数的很多知识都被淡化了，学生平时接触比较少，训练也比较少。开始学习虚数时，可能部分学生会记得引入虚数的目的是什么，但时间久了，学生会遗忘，究其原因还是对虚数的概念理解程度不够，根本没有上升到关系性理解。
2.关于虚数的代数运算。
第2题：已知关于x的方程x2-（2i-1）x+3m-i=0有实根，则实数的取值范围是〖CD#4〗。
此题涉及的知识点是复数相等的条件，11.6%的学生给出了正确答案，学生在回答此类问题时，需要考虑到实系数一元二次方程的虚数根的情况，知道实数与虚数的本质区别，深化问题，灵活运用所学知识点解决问题。76.8%的学生回答此题时出现了错误，其错误分为两类：①m≤-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗。超过90%的被试给出了这个答案。这类学生是按照求解实数系内一元二次方程有解△≥0条件求解出答案。这说明，学生根本没有区分实数系内一元二次方程与复数系内一元二次方程的区别，思维还停留在实数系内，从而导致错误。②其他带有i的式子。少数被试也按△≥0解答，但计算过程出现了错误。
T检验知，高二年级学生的正确率较高，上海地区学生正确率较高。教师F2认为，很多使用人教版教材的地区，学生很少接触此类题目，面对高考不考查的这类知识点，学生和老師不重视。上海教材（共10课时）中有一节是专门讲解实系数一元二次方程解的问题，而人教版教材（共4课时）中强调对复数的概念和复数相等以及四则运算等比较基本的知识。
3.虚数的几何意义。
第3题：已知|z|=1，，求|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|的最大值。
此题的目的是考查学生对于复数模的几何意义的应用，35.1%的学生给出了正确答案，68名学生在复平面内用数形结合的方法求解，将题目给出的信息转化为数学语言，即单位圆上的点到一定点的距离的最大值，这部分学生处于SOLO水平4。学生能够寻求一种简便、灵活的方法巧妙地解决此题，对虚数的几何直观表示理解较透彻；8名学生采用代数方法求解，利用不等式|1+〖KF（〗3〖KF）〗i-z|≤|1+〖KF（〗3〖KF）〗i|+|z|，设z=a+bi，结合已知条件|z|=1给出正确答案，这8名学生处于SOLO水平4，在复数的代数计算方面掌握较好，能够将以前学过的不等式性质与复数知识点结合，从而灵活地解决相关问题。3名学生结合二元二次关系式，利用求函数最值的方法求解，他们并不能灵活运用虚数模的几何意义来解题，处于SOLO水平3。
19.6%的学生给出了部分正确的答案。一部分学生利用求函数最值方法求解，思路基本正确，但由于本题已知条件给出的是一个二元二次的关系，计算较繁琐，所以学生在求解最大值化简时极易出现错误。笔者认为，这类学生没有很好地掌握虚数的几何表示，运用时灵活性不够，这阻碍了学生对虚数的进一步认识，他们处于SOLO水平2。24%的学生思路不正确，并不能很好地理解题目的含义。21.3%的学生没有给出任何解答，笔者分析，可能学生面对此题找不到任何解决的办法，他们处于SOLO水平1。
整理问卷发现，吉林地区的大部分被试用求函数最值的方法求解，由于计算繁琐复杂，最终未能给出正确答案。教师M2认为，虚数的几何意义实际上对于学生学习和理解虚数起着很重要的作用，对于学生来说也是学习虚数这部分知识的难点；同时学生需要深化理解虚数的模的几何意义，并能够灵活运用。
4.虚数的教育价值。
第4题：学完整章复数，你觉得对你的学习有何影响？（可多选）（ ）
A.没什么影响；
B.让我知道并体会很多数学思想；
C.在物理学等学科及生活中有很大应用；
D.培养我的良好的数学素养；
E.其他（请具体写出）.
此題的目的是了解虚数的教育价值，选择B的学生为56.5%，他们在学习虚数的过程中体会了很多数学思想。选择D的学生达到29.6%，他们认为虚数的学习对其数学学习是有帮助的，因为虚数的学习过程对其培养良好的数学思维具有积极作用。选择A“没什么影响”的学生为27.8%，这部分被试并没有体会到虚数对其数学学习的影响。选择C“在物理等学科及生活中有很大应用”的只有11.1%，这部分被试没有切实地感受到虚数在实际生活中或者对于其他学科的辅助作用。关于虚数的应用，卡茨（1999）讲解了虚数（复数）在物理和工程上的应用，学生对于虚数在日常生活中应用的实例了解很少，因而他们不知道学习虚数的意义何在，这也是影响学生学习动机的一个原因。选择其他的学生中，2名学生认为可以提高其计算能力；3名学生认为可以解决其他类型的数学问题；2名学生认为可以拓展其思维发展，其余8名学生答案与此题毫无关联。
四、结论与教学启示
通过以上分析，我们初步得出以下结论：
（1）高中生对虚数的概念理解是存在认知障碍的，很多学生不知道引入虚数的目的何在，虚数从本质上与实数的区别在哪里，大部分学生对于虚数概念的理解停留在SOLO水平1-2，对于虚数的不接受、不理解也印证了历史的相似性。
（2）高中生对虚数的有关性质概念的理解也存在一些问题，很多时候学生不知道如何运用这些概念进行分析运用，只是死记硬背或者凭感觉。学生极易混淆实系数一元二次方程与实数系内一元二次方程的异同点。
（3）整体来说高中生对于虚数的四则运算能力不错，大部分学生能够准确计算关于虚数的加、减、乘、除以及求虚数的共轭等问题。对于虚数的几何意义掌握不好，由于学生对虚数的几何意义理解程度不够，没有很好地认识复平面内有关虚数的各种几何表示，将近一半学生对虚数几何意义的理解停留在SOLO水平1-2。
（4）虚数的学习对于学生来说很重要，但由于很多学生并不知道虚数在实际生活中的意义，比如虚数在电路、飞机设计等方面的应用，从而影响了学生对虚数学习与探究的动机。
基于上述结论，我们获得如下教学启示。
（1）虚数有关概念的教学。教师在引入虚数概念时，可以结合历史素材，在课堂上有针对性地向学生介绍历史上虚数产生和发展的来龙去脉。另外虚数的实际应用例子有很多，比如，虚数广泛应用于物理学领域，教师在教学中可以适当地让学生了解这些内容，有利于学生形成良好的学习动机，让学生相信虚数是有用的，学习虚数是必要的。
（2）虚数的有关性质及几何意义的教学。测试中发现学生很容易混淆实系数一元二次方程的解与一元二次方程的实数解。教师应该分析其本质区别，让学生了解，一个方程为实系数一元二次方程并不代表其有实数解，注意虚数解的情况，帮助学生突破此难点。另外，调查显示，学生对于虚数几何意义的应用不够灵活，而且调查学生认为最难学或者最难理解的内容（问卷中第10题）时，多数学生认为运用其几何意义解题是最困难的。教师应该将复数的代数形式与实数对以及复平面内点之间对应起来，并深化虚数模的几何意义，将数形结合思想贯穿于复数的教学之中。
参考文献
[1]Jones，P. S. Complex numbers： an example of recurring themes in the development of mathematics [J]. Mathematics Teacher， 1954， 47（2）： 110 ； （4）： 257-258，263.
[2]林永伟等. 数学史与数学教育 [M]. 杭州： 浙江大学出版社， 2004.
[3]汪晓勤等. 从一次测试看关于学生认知的历史发生原理 [J]. 数学教育学报， 2005， 14（3）： 30-33.
[4]赵瑶瑶. 复数的历史与教学[D]. 华东师范大学硕士学位论文， 2007.
[5]赵瑶瑶. 以史为鉴——复数教学设计[J]. 中学数学月刊， 2008（4）： 6-9.
[6]薛薇，2009. SPSS统计分析方法及应用[M].北京： 电子工业出版社.113-116，130-136.
[7]宋洁， 赵洪， 2005. SOLO分类评价法及其应用[J].上海教育科研，（10）： 62-64.
[8]Katz，V，J.， 1999. True stories of an imaginary number [J]. Science， 283（5401）： 494.
作者简介：林佳乐，女，汉族，吉林人，1988年2月出生，研究方向：数学史与数学教育，硕士研究生，初级教师，华东师范大学毕业。