摘要：目前，对于水流动画模拟的研究已经取得了相当丰富的成果。基于物理模型的流体动画模拟的研究，需要计算流体力学和计算机图形学的交叉融合，根据其研究的背景与内容的不同，可分为两种类型。基于物理模型的流体动画模拟中描述流体运动的方法主要有两种，一种是Euler方法，另一种是Lagrange方法。Euler方法的主要缺点是难以处理流体的细节，Lagrange方法的优点就是能很好地表现流体的细节。由于Euler方法和Lagrange方法的这些特点，如果发展这两种方法的综合方法，则可取长补短。
关键词：水流动画模拟；Euler方法；Lagrange方法
中图分类号：TP399文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)14-20934-02
1 引言
近年来，对自然景观的模拟一直是计算机图形学和动画中最具挑战性的问题之一，这是因为自然景观远比大多数人物造型复杂得多，模拟相对比较困难，与山、树相比，对水的模拟又更为困难。
2 水流动画模拟发展的现状分析
目前，对于水流动画模拟的研究已经取得了相当丰富的成果。具有代表性的研究有两个领域：一是计算流体力学领域，主要研究的是流体运动的科学求解，用Navier-Stokes方程（N-S方程）或其简化形式精确求解描述流体运动，从而揭示流体运动的内存规律，解决流体相关领域的工程计算问题，已发展了大量高精度高效的数值方法，并取得了丰富的成果。二是计算机图形学领域的流体模拟，注重流体现象的视觉效果，运用计算机图形学或一般图形学原理和方法，将流场数据转换为图形、图像，以直观的形式表现出来，从而获得生动、逼真的流体运动的视觉效果，并运用于如电影特效、视频游戏等的市场需求，该方向的工作也取得了很多成果。
随着计算流体力学、计算机图形学等学科的不断发展与相互交叉，从而产生了许多更有效的模拟方法，其中，基于物理模型的流体动画模拟发展迅速，目前，已经成为该领域的一个研究热点，同时也成为当前和未来科学工程计算机与可视化发展的一个重点方向。
基于物理模型的流体动画模拟的研究，需要计算流体力学和计算机图形学的交叉融合，根据其研究的背景与内容的不同，可分为两种类型。一种是利用计算流体力学成果，采用合适的模型和方法，从计算机图形学的角度发展相应的流体动画模拟所需要的流场表示方法、绘制技术等，研究工作主要集中在流体动画模拟中的计算机图形学方面。如基于GPU带有复杂边界的三维实时流体模拟、基于LB模型的液－液混合流体模拟等[1-3]。另一种是以计算流体力学为基础，根据计算机硬件和计算机图形学的发展水平，发展适合于流体动画模拟的CFD模型和方法，利用计算机图形学的方法完成流体的动画模拟，不仅要科学求解，而且要获得生动、逼真的流体动画，这方面的研究在国内还不多见。
基于物理模型的流体动画模拟中描述流体运动的方法主要有两种，一种是Euler方法，另一种是Lagrange方法。前者研究充满流体的空间区域的各个固定点，将流体的速度、压力、密度等流动量看作是空间点坐标x、y和时间t的函数，研究每一固定点上的各种流量随时间变化的情况，以及研究由某一空间点转到另一空间点时这些流支量的变化情况，是一种基本网格的方法。后者研究组成流体的质点，跟踪流体的质点来研究流体中某一质点的位置、密度、压力等流动量随时间的变化情况，以及研究由一个质点转到其他质点时这些流动量的变化情况，是一种基于粒子的方法。
Euler方法的优点是模型方程相对简单，可以利用场论理论分析问题，入口条件和出口条件易于处理等等，相对来说，使用起来比较方便。在CFD中已发展了很多高精度高效的Euler方法，取得了丰富的计算结果[4]。其中具有代表性的有基于浅水方程线性化的高度场模拟、求解三维完全N-S方程的有限差分法、求解三维不可压N-S方程的无条件稳定方法及其推广、水平集方法[5-9]等。Euler方法的主要缺点是难以处理流体的细节，如水的飞溅、泡沫、波浪的破碎与翻卷等。
Lagrange方法的优点就是能很好地表现流体的细节。其中具有代表性的有光滑粒子流体动力学方法(SPH:smoothed particle hydrodynamics)[10]，并被广泛推广和应用[11]。Lagrange方法的缺点是除了没有网格方法上述的一些方便之处外，计算上比较费时，计算代价相对较大。由于Euler方法和Lagrange方法的这些特点，我们想到发展这两种方法的综合方法，取长补短。这方面已经取得的一些重要成就有：半拉格朗日算法[7]、粒子水平集方法[9]、经典PIC(Particle-In-Cell)方法的推广与应用、粒子有限元方法，以及最近的耦合SPH和PLS的方法[12-14]。
3 水流动画模拟未来的发展前景
目前，在水流的计算机动画模拟中，人们最想看到的结果是，在模拟水的流动的同时，也能逼真地模拟出水的飞溅、泡沫、波浪的破碎与翻卷等细节现象。动画模拟的实时性要求模拟方法具有较高的计算速度，而能模拟出上述细节又要求模拟方法具有丰富的细节表现能力，但丰富的细节表现能力往往导致计算代价的增加从而降低计算速度，未来发展的关键问题就是解决上述这一矛盾。
我们考虑研究耦合Euler方法和Lagrange方法的水流的计算机动画模拟，希望实现对水的飞溅、泡沫、波浪的破碎与翻卷等细节现象的模拟。
采用将水流分为稠密水体和弥散水体的描述模型，用弱可压SPH方法代替常规SPH方法去求解弥散水体来同时提高方法的细节表现能力和计算效率。弱可压SPH方法采用Tait方程联系流体的压力与密度，允许弱可压性和小的密度波动，这与弥散水体的性态非常相吻合，解决了常规SPH方法在可压与不可压上两难选择的问题。尽管给出弱可压SPH方法的研究问题时没有采用将水流分为稠密水体和弥散水体的描述模型，没有直接表明这一方案的有效性，但通过上述分析我们仍能看到该方案的可行性。
采用MLS方法代替PLS方法去构造耦合方法来提高方法的计算效率。因为MLS方法仅在流体的表面使用标记，而PLS方法是在流体表面的一个管状邻域上布置粒子，因此，在计算代价上，PLS方法是一个三维问题，而MLS方法只是一个二维问题，因此MLS方法计算量明显降低。而流体的细节现象的发生又都是在流体的表面部分，仅在流体的表面使用标记同样能准确的追踪表现出流体的细节。[14]中的研究结果证明了这一点，因而这是个可行的不降低计算精度而提高计算效率的方案。
在描述水流的模型方面，采用广义SWE代替三维不可压N-S方程作为稠密水体的描述模型来提高模型的计算效率。[15]的工作为我们提供这一方案成功的实例，虽然[15]考虑的水流只是一些小尺度流体，但我们在求解SWE方面有较多的工作经验，我们将仔细分析洪水泛滥、海啸这些流体的特性，给出适合于这类问题的广义SWE。在提高效率方面，耦合方法应该比单纯的网格方法有更大的空间。
4 结束语
随着计算流体力学、计算机图形学等学科的不断发展与相互交叉，以及计算机硬件的迅速发展，从而使许多更有效的模拟方法的实现成为可能，采用通过Euler方法和Lagrange方法的结合，发展一些高速、准确的水流动画模拟方法，可以帮助研究如洪水泛滥、海啸等复杂水流运动，从而为水力开发、国防建设、灾害预防的实际问题提供服务，同时，也可应用于电影特效、视频游戏等方面，因此，水流动画模拟方法的研究具有很高的实用价值。
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