摘要：在电子技术课程教学中，学生对自由振荡电路的分析与理解感到较困难，笔者在教学过程中利用应用数学对两耦合回路中的自由振荡进行分析，通过用数学去对两个耦合回路中的自由振荡建立方程进行推导，两个耦合回路中的自由振荡即使局部频率相等，在两个回路中也会同时产生两个频率的振荡，这两个频率为、称为耦合频率，由这两个频率的振荡迭加而产生频率为—的差拍，由于差拍的存在造成两回路中的能量周期性的“跳动”，若不考虑能量损耗，则为等幅差拍跳动，如果考虑到能量的损耗，则为减幅跳动直至能量为零。经过教学实践容易使学生理解，并能得心应手的去掌握，在对自由震荡电路的分析中起到了一个抛砖引玉的作用。
关键词：应用数学 耦合回路 自由振荡 交变磁场
中图分类号：TP212.1 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2016）03-0000-00
在实际电路中通常用到的是两耦合回路在谐振频率情况下的振荡现象，本文利用应用理论对不在谐振情况下的自由振荡进行分析。
由图1电路所示。设起始瞬间，电容C1上得到一个极短暂的的电压脉冲、开关K合上后构成闭合回路，此后电容C1就进行振荡性的放电，一与此同时电感L1相应建立起交变磁场，此交变磁场在次级回路中激起电动势和电流，初级回路中振荡能量将消耗掉，至使在次级回路建立起振荡状态，即能量由初级回路开始转换到次级回路中，直到初级回路达到最小振荡为止。此后两个回路所承担的角色对调，可使第二个阶段一即能量又开始从次级回路转换到初级回路，次级回路中振荡振幅减小，而初级回路振幅增大。如此反复进行，在两个回路中就建立起自由振荡现象。
图1 自由振荡电路
下面具体分析，设在某一瞬间，两耦合回路中两个电容Cl、C2上的电压分别为u1、u2，则可得到初、次级回路的电压方程：
由于，代入（1）求得：
设； ； ； ；
； ；代入（2）式得：
为了研究方便起见，设，即回路中没有电阻，为两个回路的固有频率相等，从而又得：
（4）式的两个方程的解为：
代入（4）式得：
整理上式得：
根据方程联立的条件
由于前面已给定
则得到：
解此方程得：
即 ； ；
；
令：
因此方程的根也可表示为：
； ； ；
现在就可以把方程（4）的解写成：
其后一式中，可令：
这样次级回路的电压可用下面形式表达
（6）
根据上面的关系可求出系数A和B的比值
上式变形得到：
； ；
； 代入（5）第一式并进行合并整理得出电容C1上的电压表达式：
（7）
其中D1、D2、、，可根据初始条件来决定。
初始时t=0，初级回路电压，次级回路电压。
由初始条件，根据（7）式得：
根据（6）式得：
即
由上面两式可得出：
在初始瞬间，满足下面条件也是正确的。
即（7）式对时间的微分，=0
即（6）式对时间的微分，=0
由上面的两式可看出，只有在时才是正确的。将此条件代入（8）式得：
根据所求得出的常数值代入（7）、（6）式求出电容C1、C2电压的表达式为：
利用三角函数关系式进行变换可得出下面表达式：
由这两个表达式可看出，两个耦合回路中的自由振荡即使局部频率相等，在两个回路中也会同时产生两个频率的振荡，这两个频率为、称为耦合频率，由这两个频率的振荡迭加而产生频率为—的差拍，由于差拍的存在造成两回路中的能量周期性的“跳动”，若不考虑能量损耗，则为等幅差拍跳动，如果考虑到能量的损耗，则为减幅跳动直至能量为零。
参考文献
[1]《模拟电子技术》.彭克发，蔺玉珂主编.北京理工大学出版社，2012.
[2]《电子线路》上册.武汉大学编.人民教育出版社，1979.
[3]《电子技术基础》.彭克发主编.中国电力出版社，2007.
[4]《模拟电子技术基础》.赵世平.中国电力出版社，2006.
收稿日期：2016-01-27
作者简介：彭丽娟（1983—），女，重庆沙坪坝区虎溪人，研究生/硕士，讲师，研究方向：应用数学与计算机。