学生数学素养的重要表象是学生的解题能力. 当前的数学教学现状是不少教师陷入“题海战术”, 用大量练习来提高学生的解题能力,忽视了数学理性思维的锤炼和深化. 这样做加重了学生的课业负担,影响了他们的身心健康,且事倍功半,收效甚微. 众所周知,数学解题能力的提高在于解题的质量而非数量,因而关键在于研究解题的方向和策略,要善于引导学生在解题过程中不断总结经验、积累解题方法.本文浅谈与培养学生解题能力有关的四个方面,以求抛砖引玉.
一、重视运算能力
1. 应试中运算能力的不足
解决数学问题离不开运算,在运算过程中,失之毫厘,谬以千里. 通过对学生运算能力的培养和训练,可以提高他们的数理逻辑能力,并养成科学严谨的做事作风和细致耐心的性格.所以提高学生快速、准确的运算能力有助于提高解题能力,也成为中学数学教师孜孜以求的目标.
以解析几何为例,学生的主要问题是在“运算”上下的工夫不够. 所谓“运算”,讲的是算理和算法. 算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里;一个是现象,一个是本质.
问题1 (2009年山东理22) 设椭圆E: + =1(a,b>0)过M(2, ),N( ,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ⊥ ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由.
分析:本题属于探究是否存在的问题,考查了椭圆标准方程的确定、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法.其中,向量条件 ⊥ 给考生以亲切的感觉,但是令人望而生畏的运算,使得众多考生颇有一种“无可奈何花落去,似曾相识燕归来”的感觉. 如果考生没有熟练的运算能力,即使知道解决问题的算法,也是无法突破此题的.
2. 注重积累方法,提高运算能力
教学现状反映的情况表明:很多学生一遇到运算问题,往往不进行认真的思考与分析,直接进行机械的死算,结果出现“会而不对”“对而不畅”的尴尬局面. 对这一现象,教师不能简单地归结为马虎,实际上是学生运算能力差、算理与推理不明造成的.
根据最新资料显示,高考试题不再用超繁的计算、机械的重复来考查学生的运算能力,代之以基本数学思想方法指导下的一题多解,体现不同的解题思维层次,提高区分度. 由此可见,今后对考生的运算能力考核,将提出更高的要求. 仍以解析几何运算能力为例,若选择方法不当,往往会导致计算量过大,不易得到正确的运算结果. 因此平时应该在教学中多归纳并熟练运用一些基本策略.
问题2 (2005年浙江理17) 如图1,椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2:1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
分析:本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角、点的坐标等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.但有诸多考生是运用余弦定理求解,方法选择不当,使得计算量增加,最终不能得出正确的结果.
二、重视数学思想
1. 数学思想的缺失造成解题能力的下降
数学思想方法往往隐含在知识的背后,因此,教师在教学过程中,进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体,把隐藏在知识背后的数学思想方法显示出来,通过传授知识达到掌握数学思想方法的目的,而不是脱离内容形式地说教.长期的“就题论题”教学,只会让学生数学思想缺失,解题能力难以提升.
问题3 (2008年浙江省高中数学竞赛14)
求解不等式 ≥|x-1|-1.
分析:考生采用分类讨论的方法,得到解答,共分为16种情况!分类过程中,稍有疏忽,就会陷入混乱状态. 其实,从数形结合的思想角度给出解法,不仅事半功倍,而且体现数学思想对解题的指导作用.
解:令y1= 与y2=|x|-1,讨论a即可.
①a=0时,即y1=|x|,如图2所示,易知
y1=|x|≥y2=|x-1|-1对一切x∈R成立;
②a<0时,即y12-x2=-a(y1>0,a<0),如图3所示,为双曲线上半支,对一切x∈R成立;
③0
④a>4时,情形同③,如图5所示,左支不成立,右支与y2=|x-1|-1有一交点(联立方程 =|x-1|-1(x>2),可得x= +1),则当x≥ +1时,原不等式成立.
考生很少用数形观点来看待这一问题,导致考试时沉溺于复杂的分类讨论中.对比解题过程及反思,“数形结合”思想在此处发挥了巨大的作用,不仅简化运算、减少分类,而且也充分展示了数学思想对解题的美育作用,岂不妙哉!
2. 培养数学思想有利于提高解题能力
日本数学教育家米山国藏说:“不管学生以后从事什么工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,将长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”
数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线. 数学基础知识是一条明线,直接写在教材中,反映着知识间的纵向关系,重记忆理解,呈表态点型. 数学思想方法是一条暗线,常隐藏在基础知识的背后,需要分析、提炼才能显露出来,反映着知识间的横向联系,重领会应用,呈动态线型. 新课标数学教学的高层次要求应以数学基础知识为载体,在数学知识的发生、发展与应用过程中孕育数学思想方法,学会数学交流,形成数学精神.
问题4 (2009年浙江理22 (Ⅱ)) 已知函数
f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,
g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R. 设函数
q(x)=g(x),x≥0,f(x),x<0.是否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q"(x2)≠q"(x1)成立. 若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.
解:q(x)的导函数:
q"(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5,x<0,2k2x+k,x>0.
当k=0时,显然不合;因此,k≠0时,其导函数图象如图6所示.
x<0,抛物线y=3x2-2(k2-k+1)x+5,对称轴x=
(k2-k+1)>0;x>0,直线2k2x+k斜率大于0,据数形结合可知: 因对任意的x1∈R(x1≠0),存在唯一x2∈R(x2≠x1),使q"(x2)≠q"(x1),只要k=5.比起原解,简洁异常!
数学思想方法的形成是从个别到一般,从具体到抽象、感性到理性,从低级到高级螺旋上升的过程. 因此,数学思想方法的教学要与学生认知发展水平相适应,结合不同阶段内容反复孕育、潜移默化,达到水到渠成的作用. 在教学中,以数学思想方法为主线,设计问题程序,指导学生尝试,可以培养学生良好的认知结构,使学生将盲目的学习转化为有意义的建构,有效提高学生的数学解题能力,逐步领会、掌握数学思想方法,形成数学精神,达到提高数学教育效益的目的.
三、重视常规解题技巧,但不拘泥于技巧
解题能力的提高离不开解题技巧,常规解题技巧是学生必须掌握的,如韦达定理的运用,配方法求二次函数值域,三角换元,排列组合的“捆绑、插空法”,数列与不等式放缩常见技巧等等.
而过分追求技巧是数学教学要避免的.技巧性太强往往容易掩盖问题本身,使得“技巧主要化”,而问题反而“边缘化”!但适当培养学生的解题技巧也是必要的.
问题5 对于n∈N*,求证:Tn=< .
证明:当n≥5时, <
= [ - ],故Tn<1+ + + + [ - ]
<1+ + + + < ,证毕.
像问题5不等式的放缩的解题技巧虽显得要求过高,但我的体会是应给学生适当接触. 纵观近几年考试趋势也是向基础靠拢,避开过于追求技巧的问题,正是新课标所提倡的. 数学大师丘成桐说:“目前中国的基础教育有弱化趋势,过分追求枝节和技巧,而忽视了基础的培养.”数学教育应当在提高全体公民的推理能力这一基本的文化修养方面多做一些开拓性的工作.譬如数学问题应走出封闭的体系,增加综合发展性和思维开拓性,改变单一题型,减少机械模仿,淡化技巧形式,增强对探索性、开放性的情境问题的研讨. 我们要遵循丘大师的教导,把握好教学中的度.
四、重视课堂教学中渗透数学文化
数学泰斗陈省身语:“数学好玩.” 可是如何真正叫人觉得好玩呢?课堂教学中,数学文化的渗透便起着重要的作用.在教学中要注意向学生渗透数学文化,从而培养解题上的主导性和积极性.
在问题4的“参数方程”教学中,往往要经历设参、消参的过程. 在教学中我们可以渗透这么一种文化:“当我们解题山穷水尽的时候,你(参数)挺身而出,为我们铺桥搭路,当我们解题成功的时候,你挥一挥衣袖,不带走一片云彩,悄然离去,这就是参数的风格. ”这样的数学教学,把它作为一种“文化”去提升人的精神,促进人的发展,充实人的内涵,提升解题的兴趣;这样的数学教学,将会去其浮躁,净化心灵,让课堂解题充满活力.
总之,要培养学生的解题的能力,笔者以为以上四个方面是教师平时需花时间去重视的.数学解题教学不能遇到一个问题只解决一个问题,这样学生的收获是很微小的,甚至让人产生一种陷入“题海战术”的厌恶感,谈何提高解题能力?
在数学教学中,以基本运算能力和常见解题技巧为依托,辅以数学思想和数学文化的渗透,前者为表,后者为里;前者为形,后者为神. 数学解题能力的提高是运算能力和解题技巧水平综合发展的结果.
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