摘 要 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有利工具，在生产和生活实际中，常常需要解决“用料最省”、“投资最少”、“利润最大”、“效率最高”等优化问题，这些大多可以转化为函数的最大（小）值问题，运用导数知识求解最为简捷。可以说导数是研究函数性质以及解决实际问题中的强有力的工具，也是数学高考命题的一个新热点。
关键词 例谈 导数 工具性
中图分类号：G424 文献标识码：A
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有利工具，在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，一方面中它是初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生从有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想上的桎梏，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面，导数具有很强的知识交汇能力，与多个章节内容都联系紧密，在近年的高考中占有突出的地位。本人结合教学实践，就导数的工具性应用作个总结。
1 利用导数研究函数的单调性、极（最）值问题
导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决函数的极值、最大（小）值、单调性等问题。特别是导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数等的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性。
所以当 = -2时，有极大值；当 = 2时， 有极小值。
评注：我们在求函数 = （）的极值时，要求函数 = （）在点及其附近有定义；否则，如果函数 （）在点及其附近没有定义，那么函数 （）在点处及其附近就不存在函数值，因而也就无法比较函数值的大小，也就更谈不上求极值。
2 利用导数证明不等式
证明不等式的方法有很多很多。导数在作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性。由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大（小）值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式。
例5 求证：当>0时，1+<。
证明：构造函数 （） = 1 + ，则 （） = 1 。
当>0时，有>1，从而 （） = 1 <0，所以函数 （） = 1 + 在（0，+）上单调递减，从而当>0时， （）< （0） = 0，即当>0时， 1 + <。
评注：不等式两边都是关于的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数 （） = 1 + ，通过导数研究函数 （）的单调性来辅助证明不等式。
3 利用导数研究曲线的切线问题
导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲 = （）的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中。就是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等问题。特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题。
2= 0，解得 = -1或 = 2，故所求的切线方程为 = 0或 = 0。
评注：求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为求曲线的切线，要注意“过点的切线”与“点处的切线”的差异。过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上；点处的切线，点是切点。
4 利用导数解决实际问题
在生产和生活实际中，常常需要解决“用料最省”、“效率最高”等优化问题，这些大多可以转化为函数的最大（小）值问题，运用导数知识求解最为简捷。
例9 一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图1为保证所需的磁通量，要求十字型具有4cm2的面积。问应如何设计正十字型的宽cm及长cm，才能使其外接圆的周长最短，这样使绕在铁芯上的漆包线最省？
解析：设外接圆的半径为Rcm，则 R = ，由 + （）= 4，得 =
要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值。
因此当 = 2时，R2最小，即R最小，周长最小为2 R = （cm）。
评注：由上面的几个问题我们可以看出，导数作为一种工具，在解决实际问题中的极值、最值问题中发挥了重要的作用，起到了事半功倍的效果。尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，达到简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。