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【摘 要】把握数学语言的实质包括三个方面：明确数学语言简洁、准确、使用变元的特点，关注数学语言的文化性，注重数学语言形式化的结构；学习和掌握数学语言的教育价值。内容包括：促进学生更好地理解数学本质，促进学生建立符号意识、发展抽象思维，促进学生更好地表征和解决问题。数学语言教学研究的思路包括：注重对数学语言的语义分析，注重使用数学化语言，帮助学生学习数学语言，为学生充分创造使用数学语言的机会。
【关键词】数学语言；符号；形式；实质；教学
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）19-0007-03
数学语言是由符号和记号组成的一种特殊的人工语言，只要受过初等教育的人，都能认识下列数学语言：
S=πr2
a×b=b×a
AB∥CD
……
可见，数学语言也是一种符号语言或形式语言。有人说，“数学的教学就是数学语言的教学”，这句话不无道理。然而，数学语言如何教学？其教学重点何在？如何让学生学习、掌握和使用数学语言？这其中有哪些认识上的误区？在实际操作中又存在哪些问题？这些都值得我们仔细思考和认真关注。
一、从教学案例谈起
笔者近期听了一节四年级数学课“加法的交换律和结合律”，其中有些片段让人印象深刻，现摘录如下：
首先，教师带领学生根据问题情境，提出数学问题，并从不同角度解决问题，接着，在黑板上列出这样的等式： 28+17=17+28，17+23=23+17，然后，要求学生再写几个这样的算式，并板书了两位学生的算式：56+44=44+56，24+12=12+24。之后，教师提问：我们班有26人，能在黑板上写下这么多算式吗？其中有规律吗？你能只用一道算式来表示上面的规律吗？自己写一写。
生1：a+b=b+a。（教师板书生1的发言）
师：还有什么写法，与同桌讨论一下。谁来汇报不同的写法。
生2：x+y=y+x。
师：还可以怎么写？
生3： 25+38=38+25。
师：你没有注意听清老师的问题哦！
生4：○+△=△+○
师：哦，还可以用图形来表示。
师：那我们看看数学家是怎么说的：两个加数交换位置，和不变。这就是加法的交换律。（板书）请大家齐读一遍。
在以上的教学片段中，我们可以追问下面的问题：
第一，教师特别关注用怎样的算式来表示规律，而对为什么可以用这个算式来表示规律关注不够。当学生提出用○+△=△+○来表示规律时，教师也没有讲清楚这样表示的理由，以及重点强调○、△在这里表示的是数。
第二，当教师让学生只用一个算式表示规律时，为什么既可以用a+b=b+a，又可以x+y=y+x和○+△=△+○来表示？这几种表示方法是否存在本质上的区别？教师并没有对3个不同式子进行比较、分析以及必要的优化，即没有对课本上为什么使用a+b=b+a进行合理解释。
第三，用a+b=b+a来表示加法的交换律时，教师对这个等式的结构特点分析不够，没有及时将符号语言和规律本身建立起有效的联系，使得学生对用符号表示规律的理解不够深入。
因此，教师对数学语言的教学不能仅仅停留在形式上，更要关注的是数学语言的实质。
二、把握数学语言的实质
1. 把握数学语言的实质要明确其特点
数学语言是按照以下几个方面改革自然语言的结果：（1）简化自然语言；（2）克服自然语言中含糊不清的毛病；（3）扩充自然语言的表达范围。因此，把握数学语言的实质要明确3个特点：简洁、准确和使用变元扩大表达范围。
数学语言的简洁体现在符号和公式等人工语言的使用。例如，把乘法分配律用自然语言来表达，有的描述是：“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。”有的描述是：“两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。”还有的描述是：“用一个整数去乘一个和时，我们可以用这个整数去乘这个和的每一项，然后把这些乘积加起来。”同一个规律，用文字叙述，不但繁琐，还不一致。改成数学语言来表达就是：（a+b）×c=a×c+b×c，或a×（b+c）= a×b+a×c。这样不但大大缩短了语言表达的“长度”，而且有利于突出对象本身的特点。
数学语言表达对象是准确而清楚的。如点A，线段l，圆周率π，正方形ABCD……这里的每一个对象都具体明确，但自然语言却常有同一词语多种表述。如“先生”，既可以表示“始生子，犹言头生”，又可以表示“年长有学问的人”或者“老师”，还可以表示某人的丈夫，或是一种泛指、通称或尊称。
数学语言和自然语言的本质区别之一就是数学语言使用变元。变元能保证数学语言准确地表示一般规律，大大扩充语言表达的范围。案例中，正因为字母（a，b，x，y）或者符号（○，△）可以表示任何数，所以才能用一个算式表示所发现的规律。
2. 把握数学语言的实质要关注数学语言的文化性
“学习使用一种语言事实上就是进入了一种文化，也即使人养成一定的行为方式与思维方式。”数学语言作为一种特殊的符号语言，承载着一定的文化特性，即数学语言有其独有的形成、发展和变化的过程。案例中对3种不同形式的表达进行比较和分析后，教师最终要引导学生明确加法交换律应表示为“a+b=b+a”，因为从笛卡尔开始，数学就习惯用字母表中开始的字母表示已知数，而后面的字母表示未知数，这是一种便于交流的约定俗成。
3. 把握数学语言的实质，要注重其形式化的过程和结构
数学语言本质上是数学形式化结果的表达，要想学习数学语言，则需要提供一些迫切需要形式化的问题情境，让学习者亲身经历问题及其解决的形式化过程，而不仅仅是面对最后的结果。例如，在讲到乘法的表达形式时，不仅要关注乘号的写法，更要结合乘法的意义，讲清乘号的由来，即乘法是特殊的加法，因此数学家把“+”旋转45°便得到了“×”。而乘号前后两个数的涵义也需要在形式化的过程中，才能够让学习者真正了解。
再如，对加法交换律的形式化表达，教师要引导学生从三个方面关注其结构：①这是一个等式；②等式两边都是加法算式，且两个加数一样；③等式两边加数的位置不同。对加法交换律的文字表达，教师也要引导学生去分析——这个运算律的条件是什么，结论是什么，如果条件和结论互换，是否还成立。只有对形式化的过程和结构进行分析和讨论，才能激发学生思考，促进学生领会数学语言的本质。
三、数学语言的教育价值
伽利略认为，宇宙这本书是用数学语言写成的。由此可见数学语言对科学研究的重要性。不仅如此，《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》中也多次提到要让学生“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”、“能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流”。美国新一轮的数学课程改革中，帮助学生学会数学地交流也被看成是数学教育的一个基本目标，而数学语言必然是数学交流的重要内容和载体。只有对数学语言的作用和价值有清晰的认识，才能更好地在教学中实现这些价值。
1. 学习和掌握数学语言，有助于学生更好地理解数学本质
数学语言是由数学符号、数学概念、数学命题等组成的。学习和掌握了数学语言，意味着可以更好地把握数学本质。例如，学习用竖式进行除法运算（如图1）时，竖式也是一种数学语言。学生通过思考：为什么除法竖式与加法、减法和乘法竖式的形式和结构不同？为什么算式中15会出现两次？为什么最后会有一个0等问题，从而能够更加明确除法的意义，把握除法运算的本质特点，为他们后续学习更复杂的除法打下基础。因此，有学者认为：数学语言的学习和掌握情况可以看作学生数学水平的一个重要标志。例如，对代数语言的掌握就标志着由小学数学水平到中学数学水平的过渡；对极限语言的掌握情况则标志着由初等数学上升到了高等数学的水平；最后，集合论语言的普遍使用就是现代数学发展的一个标志。
学习的重要目标，也是发展学生抽象思维的过程。数学符号本身是数学抽象思维的产物，它能够承载思维活动的内容，暗示思维对象的信息，例如“a+b=b+a”，这里的字母a、b其实可以表示任何数。利用数学符号思考可以简化思维过程，还能刺激人们的联想活动，诱发数学灵感。如看到“2πr”就能让人想到圆的周长，看到2能想到它是偶数，也是质数……这对解决数学问题很有帮助。
3. 学会使用数学语言，有助于学生更好地表征和解决问题
数学语言的学习目的在于使用，只有在使用中才能更好地促进数学语言的内化，增强熟练程度，进而为表征数学问题和解决问题服务。
例如，在解决周期问题“盆花按蓝、红、黄的顺序依次排列，第19盆花是什么颜色？” 时，可以画图，也可以枚举解决，但如果能用有余数的除法算式19÷3=6（组）……1（盆）表征问题的解决，就更利于学生解决类似的、更复杂的问题。再如，学生用平面图形的面积公式解决有关图形面积问题时，如果能在头脑中迅速呈现相关公式，再去寻找满足公式的条件，就会大大提高解题效率。还如列方程解决问题，更是用方程代替了题目中的数量关系，让学习者更容易看出已知数和未知数之间的关系。
四、数学语言的教学策略
数学语言的教学，离不开对数学概念、数学规律的理解和运用，更需要教师有效的引导，以及对数学课本的阅读。一般来说，数学语言的教学应重视以下3个方面：
1. 教学中要注重对数学语言的语义分析
数学语言代表的是数学概念，数量关系等，教学中要注重对数学符号、数学表达式的内涵的教学。案例中，28+17=17+28，17+23=23+17，56+44=44+56，24+12=12+24与28+17=17+28，17+23=23+17，56+44=44+56，24+12=12+24……看上去相差无几，但两者代表完全不同的意思。前一组代表的是有限个这样的等式，属于低水平的复制；后一组表示了无限个等式，这个省略号会引发学生的联想，促使他们思考：照这样写下去是写不完的，能用什么办法解决这个写不完的问题呢？如何用一个式子表示这个发现呢？
加强数学中特有词汇意义的教学与理解，有助于学生逐渐养成用数学中特定词汇表达自己想法的习惯。如，数学教学中的“相交” 就是“两条直线只有一个公共点的位置关系”，学生理解了这个涵义，以后遇到类似问题就可以立即想到这个数学名词来表达。因此，理解数学概念和规则是掌握数学语言的基础。
2. 教学中要注重使用数学化语言帮助学习数学语言
特级教师陈永明提出了“数学化语言”的概念，他认为数学语言是学生学习的对象，数学化语言是用于研究、学习数学语言而使用的语言。前者是一种形式语言，不分国家，后者是一种自然语言，各个国家和民族是不同的。例如分数的基本性质，用数学语言表达应该是a/b=a×m/b×m或a/b=a÷m/b÷m（a，b，m∈Z，b≠0，m≠0），但为了便于学生学习和理解，需要用自然语言来表达，即分数的分子和分母同乘（或除以）同一个数（零除外），分数的大小不变。这就是数学化语言。可见，数学化语言应该简练、严谨，可以有符号和变元。
在教学中，数学化语言的使用会直接影响数学语言的学习。因此，教师要在数学化语言上多琢磨，思考如何用数学化语言解释和说明数学语言，数学化语言如何体现数学语言的文化性和传承性的特点，以及如何将数学化语言和内容的数学化结合起来，更好地突出数学的特点。
3. 教学中要为学生提供创造使用数学语言的机会
数学语言的学习也属于语言的学习，需要在一定的环境中反复使用才能更熟练，并且为后续初、高中的数学学习打下基础。因此，在教学中，教师要为学生充分创造使用数学语言的机会。案例中，教师让学生用一个算式表示规律，就可以让学生经历将自然语言转换为数学语言的过程，也就是通常所说的“数学化”“形式化”的过程。两种语言的转换，可以使抽象的数学语言在现实生活中找到依据，从而使学生透彻理解数学语言，进而运用自如。
学生掌握数学语言需要一定的过程。在这个过程中，有很多概念内涵可以让学生用自己的话去说，帮助学生理解概念，但最终还是要让学生学会用数学语言简洁、准确地去表达，这是培养学生抽象思维的起点。
总之，在数学教学中，教师应该在关注数学语言形式的同时，更加关注数学语言的实质，只有这样的教学，才能够发展学生的数学思维，促进其展开数学思考，形成数学素养。
参考文献：
[1] （荷兰）弗赖登塔尔.陈昌平.作为教育任务的数学[M].唐瑞芬等编译.上海：上海教育出版社，1999.
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[4] 陈永明.论“数学教学语言”[J].数学教育学报，1999，（3）.
[5] 刘娟娟.数学语言与小学数学教学[J].湖南第一师范学报，2007，（3）.
（编辑：胡 璐）