摘要：讨论工程型人才培养的课程定位，通过阐述离散数学自编教材，介绍针对工程型计算机本科专业的课程内容取舍，探讨离散数学课程的学习方法，并进行了深入的思考。
关键词：离散数学；工程型；教学改革
离散数学是计算机科学与技术专业的重要数学基础，其关于对象状态及其变换描述的形式化和离散性特征，为计算系统实现问题求解提供了强有力的基本手段。所以，其基本概念都可以在计算机的各个领域中找到。该课程对培养学生的计算机思维能力有重要意义。笔者结合军校工程型大学的实际教学工作，探讨了工程型计算机科学与技术人才培养中离散数学课程教学中的一些问题。
1课程定位
教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会2009年编制的《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》[1]中，将人才培养分为科学型、工程型和应用型3种，计算机专业这3种类型人才的教育将分别关注教育内容中的知识和问题求解方法的不同形态的内容，如图1所示。
根据3种不同类型人才的专业素养与能力要求，以及其他相关专业课程的教学需要，离散数学课程的教学内容和教学要求也具有不同的定位，如表1所示。
科学型人才的培养目标要求学生具有坚实的数学基础，较强的抽象思维、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培养目标要求学生具有坚实的数学基础，能够综合应用相关的理论分析和解决实际问题；应用型工程型人才培养目标要求学生能够熟练运用典型的离散模型，进行系统的建模和集成。
2教材案例
教材建设是教学改革的重要内容之一，是教学组织工作的基础。基于上述理念与原则，作者对《离散数学》[2](高等学校计算机教育规划教材)进行了修订。该教材涵盖集合论、数理逻辑、组合论、图论、抽象代数的基础知识，可满足计算机科学技术工程领域(工程型)高层次人才的需求，用离散结构的理论和方法对实际系统进行描述、分析的基本数学需求。
在这个知识框架中，离散数学课程划分为10个知识单元，分成三个层次。第一层的4个核心知识单元与工程型一样，即集合关系与函数、基本逻辑、图与树、基本计数，分别包含通常离散数学中的集合论、数理逻辑、图论、组合数学的基础部分。第二层的两个推荐知识单元是特殊的图、代数结构，分别包含图论、代数结构中的重要内容，这些知识单元之间相互比较独立。第三层的3个可选知识单元是形式系统、高级计数、初等数论，包含了数理逻辑、组合学和初等数论中的部分内容，这些知识单元之间也是比较独立的。从知识结构上，还需要一个关于证明技术的单元，包含离散数学中经常使用的证明方法，如数学归纳法、逻辑演算、构造性证明、反证法、归约证明等。但在教学安排上，可以将证明技术分散到有关的知识单元中讲授。
对比科学型人才培养目标，该教材包括了集合基数，但缺少一阶逻辑形式系统的一致性、合理性、完备性证明，计算理论(递归函数、原始递归函数、图灵机、图灵可计算函数)等内容。该教材涵盖应用型人才培养目标的全部内容包括集合、关系与函数，基本逻辑，图与树，特殊的图，证明技术，基本计数，代数系统简介，初等数论。
3学习方法
在明确课程定位以及有相应的教材支撑之后，结合实际教学，笔者从以下几个方面对离散数学的教学方法和手段作了探讨。
3.1深刻理解“数学内涵”
一个本质上简单的学科却难于学习。有些困难是表面的，其一是词汇。数学家用一些对普通人很生僻的词来表达从实际事物中抽象出来的概念。如“四边形”和“平行四边形”有一些在其他领域遇不到的特定的精确含义，要研究数学就得学着用。另一个看得见的，但同样是表面的困难是使用符号。我们要解决问题，以某些给定的信息为基础决定一个未知数。设此未知数是某一个长度为尺计的数字。用x去代表这个长度，而在以后就只用符号x而不去说这么长一句话，肯定是有利的。然而使用符号不会产生任何概念上的困难。
人们设想到的第三个困难是抽象性。但是由于基本的抽象或概念是直接来自日常经验的，人们心中很容易保存它们的含义。事实上，数学家不断地诉诸物理对象和物理图像，以便不忘记这些抽象概念的含义。古希腊数学家用小石子代表各类对象，用小石子学会了自然数的基本事实。顺便说一下，“计算”一词，广义地表示任一个算术或代数过程，它的英文Calculus的拉丁语源就是小石子。甚至更高级的数学抽象，如微积分学中所学的导数和积分，说到底离这些初等概念仅一步之隔，甚至微积分的概念也有图像的物理的意义。要学会这些抽象概念，比学习初等概念并不要求更高的智力。
数学的完成形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某种类型方程的方法。另外还有一系列事实，例如定理。当然，程序和定理都要通过证明来确认。要想教会人这些数学的元素，最容易的方法莫过于用这些概念、过程、定理与证明的最终的、确定的形式去教学生。但是数学是一门老学科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前三千年。过去五千多年里，数学家极大地扩大了这个学科的领域，当他们不断认识了新的客体和现象，当他们不断改进自己的理解，他们也就重塑了这些概念、程序与证明，来把这些成就组合起来。这些订正了的版本有许多就不再清晰易懂了。
此外，数学的分量在增加，最好把它组织起来，使关于同一主题的许多定理有合逻辑的次序。每一门学科的基础是公理，后面就是一串定理，每一个定理都用公理和前面已证的定理来证明。把结果按这样的合于逻辑的次序来安排，这种需要就要迫使数学家找出新的、不甚自然、不甚明白的证明。结果是许多证明都被除去了它们的直观、透明和易于理解的面貌，而被十分人为的证明代替了。
表述上的有效性似乎导致忽视数学的另一个特点，而这个特点对于理解数学却是至关重要的。数学本身是一副骨骼。数学的血肉和生命在于用数学做什么。有意义的数学要为一种目的服务，这种目的用笛卡儿的话来说，就是使人成为大自然的主人和占有者。数学的意义在于数学本身之外，正如好的文学作品的意义在于纸面上文字的堆积之外。要懂得数学，就要知道为什么需要这个结果，它和其他结果关系如何，用它可以做些什么事。
由于学校的目的和义务繁多，有时能够，有时又不能够给数学一种更有启发性的讲法。有志于此的学生必须要走得远一些，寻求一种完全的知识。要对数学有较彻底的理解与领会，就必须去掉那些纤巧的细节，深入到其深层的思想之中；要知道它的目的和用处，知道创造它的人们的动机，以及这些概念和结构的创生背景。
3.2学会创造性思维
创造性的活动，对学生来说则是再创造的活动，是数学的心脏。正是在这种活动中，数学家创造了最高成就，克服了困难，并使数学这门学科取得了最有意义的进展。创造过程不仅在解决已有问题时必不可少。没有新观点、新研究方法和新目标的创造，数学就会反反复复重新组织老的证明，使它们更加严格，在这样的过程中日趋枯竭，丧失生命力。对已经得到的知识，重新排列其步骤，安排其定理的次序来构成一个演绎的组织，这时常需要创意，但从总体上说，这更像是把书本重新排一个次序，而创造的活动，却可以比作写书。数学给人的满足——获得猎物时的兴奋，发现的激动、成就的感觉以及成功时的欢乐——更多更强烈的是在创造性的工作之中，而不是在最后按演绎的模式来重写论证之中。
数学中有许多美的篇章。无疑，数学家从事数学活动也能获得其他创造活动提供的满足感，但是伟大的数学家情愿把数学的美作为一种额外报偿，激励他们奋斗的最深层的动力，则是以数学为媒介，在人类的探索活动中理解宇宙，也理解人类自身在其中的角色，并且探求如何利用自然现象和自然的力量为人类服务。那些作出巨大贡献的数学家们，像阿基米德、牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、庞加莱，或者是一流的物理学家，或者在科学史中占据显要地位，决不是偶然的。几乎所有数学的目的和意义并不在于对于一堆符号作一系列的逻辑阐述，而在于这些符号必定告诉我们关于外部世界的一些知识。
4思考与建议
离散数学是计算机科学系所有专业的基础数学课程。一方面是因为其有实用性(应用数学的特征)，另一方面是因为其有本身作为数学基础课的理论的严谨性[3]。所以，学习任何一个专题时，首先要精确严格地掌握好概念和术语，正确理解他们的内涵和外延。因为公理、定理或定律的基石都是概念。只有正确地理解了概念，才能把握定理的实质，熟练地将公理、定理应用于解决问题。完全地、精确地掌握一个概念的好主意，是首先要深刻理解概念的内涵，然后举一些属于和不属于该概念外延的正反两方面的实例。如果对一些似是而非的例子也能辨别的话，应该说这个概念是真正地理解了。对一些重要的概念，能记住一两个实例也很管用。这对牢固掌握一个概念是很有好处的。
读者应养成一种自觉的学习习惯，就是首先要掌握好基本概念和术语，在此基础上，理解每个基本定理的本质，最后，通过学习和借鉴书中提供的例题，独立地完成每一次作业，并且在每次作业完成之后，能自觉地归纳出其中用到的基本解题方法。注意，千万不要在完全理解相关概念和基本定理之前就匆忙去做相应的习题。
学习数学的唯一途径是实践。仅看别人怎么做，是不可能学会弹吉他或投篮的，也不可能仅靠阅读本书或听课就学好离散数学。必须积极主动地思考。在阅读数学书时，应该在手头随时备好笔和纸，以便进行详细的推导和计算。在听数学课前，最好先阅读有关的内容，这样，就可以专注于对内容的理解是否与教授的理解相一致，还可以就一些难点提问。本书中有很多习题，有些是纯粹的计算题，有些测试对概念的理解，有些要求给出论证，建议读者多做习题。
学习和理解术语也很重要。在数学中，传统的做法是对一些简单、常见的词汇赋予特殊的含义，如集合、函数、关系、图、树、网络。这些词都有严格的定义，必须认真学习。否则就不能理解在书中读到的内容和教授所讲述的课程。术语有助于有效地与别人共享信息。在现实生活中，仅仅简单地计算出某些东西往往不够，还必须能够向别人解释，使别人确信你的解是正确的。
参考文献：
[1] 教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会. 高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案[M]. 北京:高等教育出版社,2009.
[2] 贲可荣,袁景凌,高志华. 离散数学[M]. 北京:清华大学出版社,2007.
[3] 中国计算机学会. 2008中国计算机科学技术发展报告[M]. 北京:机械工业出版社,2009.
Discussion on Contents and Learning Methods in Discrete Mathematics Course
GAO Zhihua1, BEN Kerong1, LIU Xia2
(1. Department of Computer Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. Academic Affairs, Naval
University of Engineering, Wuhan 430033, China)
Abstract: This paper discusses the course location for engineering type students. It introduces how to select contents for engineering type computer science students through a textbook of discrete mathematics made by ourself. Then, it discusses some learning methods about discrete mathematics.
Key words: Discrete Mathematics; engineering type; teaching reform (编辑：张玥)