摘 要：数学和力学作为现代科学的基础学科，既具有很强的理论性，又具有广泛的应用性。在数学和力学的教学中，不仅要使学生掌握相关的理论知识和解答技巧，更重要的是培养学生思维能力和思维方法。类比思维是一种重要的思维方法，其根据已有知识展开联想或与已有知识的相似性进行一定的对比，解决新问题和达到培养创新能力等目的。本文通過“小数阶乘”和“伽玛函数”的概念，阐述类比思维在数学和力学教学中的功能和应用。
关键词：类比法 小数阶乘 伽玛函数 教学
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）11-0-01
一、类比思维方法
类比法是数学、力学学习中重要方法之一。类比法是指由一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。
通常来说，在研究和认识新事物、新对象的过程中，通过联想与其相似的已知的熟悉对象，通过观察和思考新对象与已知对象之间的相同点和相似性，通过已知事物所具有的属性，从而推断出其新事物也具有相似的属性，得出相关结论，从而引起发现新规律和新思维的方法。[1]
类比法是一种平行思维方法，类比也应该是在同层次之间进行。亚里士多德在《前分析篇》中指出：“类推所表示的不是部分对整体的关系，也不是整体对部分的关系。”类比推理是一种或然性推理，前提真结论未必就真。要提高类比结论的可靠程度，就要尽可能地确认对象间的相同点。相同点越多，结论的可靠性程度就越大，因为对象间的相同点越多，二者的关联度就会越大，结论就可能越可靠。反之，结论的可靠性程度就会越小。[2]
总而言之，类比思维就是一种用已知熟悉的事物去替代陌生事物、将陌生转为熟悉的思维，通过思维的发散，在脑海中找到一种似曾相识的感觉，再加上想象力和创新能力的完善，达到解决问题获取新知识的途径。
二、类比思维应用
在高中数学中，我们学过阶乘的概念，一个正整数的阶乘被定义为所有小于及等于该数的正整数的积，且0的阶乘定义为1，是由基斯顿卡曼于1808年引入。任一自然数n的阶乘写作n！，定义为：
通过上式，我们可以求得任一自然数n的阶乘。如图2所示为n取1，2，3，4所得的阶乘在坐标轴中的点列。对于该图，很容易提出这样的问题，如果取横轴坐标为1.5，则对应的纵轴坐标是多少？更进一步，若将图中各点用光滑曲线连接（图3），则该曲线形状及其表达式又是什么？
这就是针对于正整数的阶乘性质，经过联想，通过类比的思维将正整数推广到小数，对小数求阶乘。事实上，对于任意正数的阶乘这一问题的研究可以追溯到17世纪，经过沃利斯、棣莫弗、斯特林、哥德巴赫、伯努利等几代数学家的努力，最终由18世纪最伟大数学家欧拉完美解决，解决该问题时，欧拉年仅23岁，这一年神奇的伽玛函数在数学史的诞生。
应用分布积分法，不难证明伽玛函数具有如下性质， ，
显而易见，伽玛函数与 在递推公式上具有一致性，且 ，因而伽玛函数是作用在实数域上广义阶乘。至此，我们还可以画出伽玛函数在坐标轴上的曲线图，如图4所示，这正是前文所述将各正整数阶乘点列连接的光滑曲线。
伽玛函数自诞生以来栖身于现代数学的各个分支，在微积分、概率论、偏微分方程、组合数学等都起着重要的作用，[3]并且其绝非数学家们凭空臆想的一个抽象玩具，它同时具有极高的实用价值，频繁现身于在现代科学尤其是物理学之中。
从以上不难看出，类比法的特点是“先比后推”。[4]“比”是类比的基础，“推”是类比的核心。在应用类比法教学的过程中，首先找到两类不同对象之间的相似特征，根据这一类对象的已知特点，去推测另一类对象可能的特征，从而大胆猜想，小心验证。通过“类比归纳”、“类比猜想”、“类比推理”、“类比验证”等过程实现由此及彼。[5]
类比思维能够帮助我们预见事物的发展进程、体现象背后的本质，理解比较抽象的概念、规律的内涵等。通过类比思维的教学运用能够帮助学生巧妙地越过思维障碍，建立熟悉的模型，培养学生的联想能力、知识与技能的迁移能力。类比思维的教学与训练对于培养学生发现问题和分析解决问题的能力、促进学生综合能力的发展具有重要意义。
参考文献
[1]王艳红. 数学解题中应用类比法的分析[J]. 数学学习与研究.2014（17）：89.
[2]李长华. 类比法在物理学中的应用[J]. 淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）. 2004（4）：94-97.
[3]田德建， 索新丽， 许盈盈. 伽马函数在概率论与数理统计中的应用[J]. 数学学习与研究.2017（23）：7-8.
[4]杜永来. 类比思维法在初中物理教学中的应用[J]. 林区教学. 2010（12）：100-101.
[5]关冬月. 类比思维法在高等数学及其教学中的应用[J]. 内蒙古农业大学学报（社会科学版）.2005（3）： 86-88.