摘要：三角函数是高中数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后续内容和高等数学的基础。本文对三角函数的定义域、解析式、值域、性质、图象做了简单的研究，重点研究了三角函数的周期。
关键词：三角函数；定义域；性质；周期
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）15-0126
一、关于三角函数的定义域、解析式、值域
由象限角引入的正弦函数，使我们面临两个直角坐标系——象限角所在的直角坐标系与的图象所在的直角坐标系，这两个“系”中，此 x非彼 x，此 y彼 y，此“象限”也非彼“象限”，在教学之初，应明确指出期间的联系与差别，以避免学生混用 。
多对一的（函数）对应关系，学生并不是第一次接触，他们最为熟悉的“多对一”函数模型，是二次函数，但二次函数之“多”，最多为两个，与正弦函数之“无穷多”还是不能同日而语。所以，在最初教师做正弦函数图象时，要多画几个周期，以帮助学生较好的建立“无穷多对一”的直观形象记忆 。
正弦函数的值域为有限区间，我们在处理与值域有关的问题时，要注意引导学生与以前常见的值域有限制的函数（如：反比例函数、（定义域为有限区间的）二次函数、指数函数等等）研究同类问题时的常用方法做比较，以促进前期学习内容的正迁移 。
例：求函数y=sinx+cosx+sin42x的值域。
二、关于三角函数的图象
由于前期学习，在单位圆背景下学生对正弦函数的图象有了初步的认识，所以，与以往用“描点作图”的方法做出函数图象相同的是：我们会根据对定义域、函数性质的分析选点作图；比较特殊的是我们可以利用三角函数线这一数形结合的工具来实现选点、描点、连线等步骤。
与前期学习一样，我们会关注图象的几何特征。特别的，正弦函数的对称点、对称轴、平衡轴等图象特征，将在正弦型函数图象研究中再次起到关键作用，所以，我们可以在研究正弦函数图象性质时为后期的学习做好铺垫。
例：已知函数的部分图象，如图所示。
（1）求ω、φ的值；
（2）求函数的对称轴方程和对称中心坐标。
三、关于三角函数的周期
在三角函数这一章中我们知道y=Asin（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，（A，ω，φ）为常数）与y=Acos（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）这些三角函数的周期。那么，三角函数y=Asinn（ωx+φ）与y=Acosn（ωx+φ）（x∈R，Aω≠0，A，ω，φ为常数）的周期又是怎样的呢？
定理1 函数y=sinnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π；函数y=cosnx（x∈R）。当n为偶数时的周期为kπ，（k∈Z，k≠0），最小正周期为π；当n为奇数时，周期为2kπ（k∈Z，k≠0），最小正周期为2π。
证：易证y=sinnx（x∈R）是周期函数（显然2π为其一个周期）。
设k（k≠0）为y=sinnx（x∈R）的周期。
由周期定义知sinnx= sinn（x+k）（x∈R）（1）
当n为奇数时，（1）成立的充要条件为sinx= sin（x+k）（x∈R），
即k=2mπ（m∈Z，m≠0）最小正周期为2π。
所以当n为奇数时，函数y=sinnx（x∈R）。的周期为2mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为2π。
当n为偶数时，（1）成立的充要条件为sinx=sin（x+k）（x∈R）。
所以当n为偶数时，y=sinnx（x∈R）。的周期为mπ（m∈Z，m≠0），最小正周期为π。
同理：函数y=cosnx（x∈R）的周期也成立。
当然一些比较简单的我们也可以用降低函数的次数来求函数的周期，不过我们在降低次数的时候千万不能出错，不然就会功亏一篑。
四、关于三角函数的性质
周期性与单调性、奇偶性的不同点在于周期性的概念叙述，是“存在性”命题，一般来说，利用“存在性”来判定给定函数是否具有满足命题的特征时，比较困难。特别的，对学生将要接触的组合或复合型函数，要想利用周期性符号语言的概念来判定、证明其是否满足周期性，是否存在最小正周期，有些问题将相当困难。但是，若能通过图象变换等方法，做出待判定的函数图象，则判断函数是否存在周期性、求出函数的最小正周期往往就比较容易。
总之，三角函数独立成章，又与其他知识紧密联系。是高考的重点考查知识之一。此外，三角函数包含的公式非常多，要去记忆，结合三角函数的图象和性质，许多问题都不难解决。所以这一章节要多花时间学习。多练多做才能取得更好的成绩。
（作者单位：重庆市万州第二高级中学 404000）